Estos apuntes de Lógica son un trabajo en progreso. Forman parte de mi proyecto de tesis de titulación en Economía. La tesis trata de explicar por qué y cómo
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Estos apuntes de Lógica son un trabajo en progreso. Forman parte de mi proyecto de tesis de titulación en Economía. La tesis trata de explicar por qué y cómo hay que enseñarles Lógica a los economistas. Estos también han sido los textos que les he dado a los alumnos participantes en el Taller de Lógica del ITAM. Me daría mucho gusto saber que les han servido a otros alumnos. Si bien muchos ejemplos y algunas referencias son guiños a los estudiantes de economía, no es necesario ningún conocimiento económico—ni lógico—para aproximarse a estos apuntes. Todos los capítulos están incompletos. A algunos les falta más que a otros. Mientras que el referente a Aristóteles está casi terminado, el de implicación es apenas un bosquejo. A lo largo de los capítulos, hay problemas de congruencia entre los símbolos usados. En ocasiones se usa la flecha sencilla () para representar al condicional material y a veces a la flecha doble (). Los comentarios entre [corchetes azules] representan huecos; secciones que aún necesitan mucho trabajo. Calculo que la versión final tendrá más o menos el doble de páginas que esta versión. Cualquier crítica será muy bien recibida. Christian Diego Alcocer christian.alcocer@cide.edu I Sesión Introducción al Taller http://minerva.filosoficas.unam.mx/~Modus/AML/ITAM/Poster.htm http://minerva.filosoficas.unam.mx/~Modus/AML.htm a) ¿Qué es la Lógica1? [¿De quién son las citas? …¿quitar las comillas?] “La ciencia de las ciencias.” “El estudio de los razonamientos correctos.” “El método de deducción-inferencia.” Todo manual serio de Lógica comienza con esta pregunta: ¿Qué es la Lógica? Todo manual serio trata entonces de contestarla. A lo largo de los siglos se han dado muchas respuestas genéricas. Baste, por lo pronto, decir que es una ciencia o campo de estudio y que su objeto estudiado es la validez o la implicación lógica. La Lógica es el campo de estudio que se pregunta cuál es la característica distintiva de los razonamientos correctos. No se preocupa por cuestiones psicológicas (¿cómo razonar correctamente?) ni ontológicas (¿qué es la verdad?). Y, entonces, ¿qué es la validez? Cualquier respuesta a estas preguntas sería, por lo pronto, apresurada y, por lo tanto, confundiría más de lo que aclararía. De hecho, al ser la mayor parte de este trabajo una introducción a la Lógica, la clarificación de estas ideas será, espero, paulatina. Para nuestros propósitos serán suficientes dos ejemplos y un contraejemplo. Los términos: validez, implicación, inferencia, derivación, deducción y necesidad lógica, si bien no son sinónimos se referirán, por lo pronto a la misma propiedad distintiva de los razonamientos correctos. Definamos antes algunos conceptos. Llamaremos proposición o afirmación a cualquier enunciado (en cualquier lenguaje) veritativo-funcional, es decir, que puede ser o verdadero o falso2. Por ejemplo: “Karl es economista”, “Si aumenta el precio de las manzanas, entonces aumenta su cantidad demandada”, “Todos los mercados son perfectos”, “Llueve”, “Para toda x, x > 100”, “x ≠ y”. Todas estas son proposiciones falsas salvo la última que puede serlo. Más adelante veremos cómo hay proposiciones abiertas: proposiciones que, por tener al menos una variable no resuelta, pueden ser, según el valor de esta variable, verdaderas o falsas. Este es el caso de la proposición abierta “x ≠ y”. [Ejemplo paradigmático, … contraejemplo contraintuitivo “a poco esto no es”.] Llamaremos argumento o razonamiento a un conjunto de proposiciones donde la última proposición es llamada conclusión y el resto las premisas. El esqueleto del siguiente párrafo es el ejemplo paradigmático de los razonamientos válidos. Las siguientes tres oraciones constituyen un argumento: “Todos los economistas sabemos que, salvo en casos muy especiales y todo lo demás constante, cuando el Banco Central aumenta la tasa de crecimiento de la oferta monetaria (dMs/dt), el efecto a largo plazo es un aumento proporcional de la inflación (¶). Supongamos3 que nos enteramos que el Banco Central ha aumentado la dMs/dt. Es lógico suponer que ¶ (la inflación) aumentará.” Este es el cliché de los argumentos válidos. Se le llama Modus Ponens al esqueleto de estos argumentos que pueden simbolizarse así:
O, en general: “(PQ), P Q” que se lee “Si P, entonces Q; P; por lo tanto Q.” A veces se usa una notación parecida a la usada en la aritmética. Las premisas se escriben como sumandos y la conclusión como el total. P PQ Q Esto es validez. ¿Quedó claro? Espero que no. La validez es una propiedad que tienen algunos de estos objetos que llamamos argumentos. El ejemplo que vimos arriba sobre el Banco Central es un argumento válido. A lo largo de este capítulo estudiaremos Modus Ponens a fondo. Veamos ahora un ejemplo contraintuitivo. Supongamos que alguien hace las siguientes afirmaciones:
Lo crucial es que si fueran verdaderas todas las premisas (bastaría con que fueran verdaderas las últimas dos), sería necesariamente verdadero que: 4) Todos los economistas son buenas personas4. Esta necesidad lógica es lo que hace que este conjunto de cuatro proposiciones sea válido. No importa que solo se usen dos de las tres premisas; no importa que algunas de las premisas sean falsas. Lo único que le importa a la validez es que si fueran verdaderas las premisas, la conclusión (proposición número cuatro) también lo sería, necesariamente. El hecho de que al menos una de las premisas sea falsa, no le quita validez, solo hace que el argumento no se haga responsable de la conclusión—que en este caso es verdadera solo por coincidencia—. Validez es, entonces, una propiedad de algunos argumentos y se da cuando existe una relación de implicación entre las premisas y la conclusión: si la verdad de las premisas sería suficiente para garantizar la verdad de la conclusión. Hay infinitos argumentos válidos así como hay infinitos esqueletos de argumentos válidos. Modus Ponens ((PQ), P Q) es uno de ellos. Tal vez el más trivial—que no el más obvio—de estos modelos de argumentos no sea Modus Ponens sino lo que se conoce como Reflexividad que puede simbolizarse: (P P). Una ejemplo de este tipo de argumentos es: “Los Beatles se separaron justo después de Let it be. Por lo tanto, los Beatles se separaron justo después de Let it be.” Otro concepto que, si bien no es lógico—ni metalógico como veremos después—, a veces usamos los lógicos es el de contundencia. Un argumento es contundente si es válido y sus premisas son verdaderas. No se trata de un concepto lógico pues a la Lógica no le interesa si las premisas son verdaderas o no. Le interesa si los argumentos son válidos. Examen: De los siguientes tres ejemplos, uno es contundente, uno es válido pero no contundente y el otro no es válido (y, por lo tanto, tampoco es contundente). ¿Cuál es cuál?
Respuesta: Tweety es un pingüino muy famoso entre los lógicos. El argumento (1) es, quizás, el ejemplo más usado en las introducciones a lógicas no-monotónicas; lógicas que mencionaremos en un capítulo posterior. Lo que debe quedar claro por lo pronto es que no es cierto que todas las aves vuelan—la generalidad de los pingüinos, por ejemplo—pero que, si todas volaran y Tweety fuera un ave, Tweety volaría. Es un argumento válido con alguna premisa falsa. Es un argumento válido pero no contundente. La diferencia del argumento (2) cambia todo. Concediendo que la mayoría de las aves vuelan y que alguna se llame Tweety—concediendo que las premisas sean verdaderas—puede suceder que, aunque las premisas sean verdaderas, la conclusión no lo sea. Se trata de un argumento no-válido. En algún mundo posible—por ejemplo, si Tweety es un pingüino—Tweety es un ave, las mayoría de las aves vuela y Tweety no vuela. Por lo tanto: Tweety nos va a causar problemas. El de Tweety es uno de los argumentos paradigmáticos no-válidos y no-convincentes. Cualquier melómano sabe que Malmsteen es el mejor guitarrista de la historia y cualquiera que me conozca sabe que la segunda premisa es verdadera. El argumento (3) es un simple Modus Ponens. Es claramente válido y contundente. La Lógica se encarga de estudiar los esqueletos de los argumentos. Primero los traduce al lenguaje de la Lógica Simbólica—la parte, por cierto, más difícil; donde más errores cometemos los estudiantes y por lo que siempre acabamos discutiendo a la hora de hacer la tarea en grupo—por ejemplo: “Escribo” puede traducirse como “E” mientras que “Escribo y leo” puede traducirse como “E & L”. Luego agrega conocimientos al gusto, una pizca de ingenio y deja macerar. Finalmente, con cara de serio, hace afirmaciones al parecer simplistas como:
L La labor del lógico no acaba en el momento en que afirma que una conclusión ha sido inferida válidamente de un conjunto de premisas. Ahí empieza. El lógico sabe demostrar la validez o la no-validez de un argumento; también sabe demostrar que algo es indemostrable. Reconoce afirmaciones equivalentes; por ejemplo “Escribo y leo” es lógicamente equivalente a “Leo y escribo”—por cierto, la equivalencia es, después de la validez/inferencia el más importante objeto de estudio de la Lógica—. Puede generar conocimientos nuevos a partir de conocimientos anteriores. Intuitivamente, esto es lo que se entiende como validez: un argumento es válido si y solo si sucede que cuando las premisas son verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. Si el concepto de necesidad lógica le es no del todo claro al lector, significa que vamos por buen camino. Es un concepto que también se aclarará poco a poco. Un poco más formalmente: validez es una propiedad que tiene un conjunto de proposiciones cuando en todos los mundos posibles donde son verdaderas todas las premisas, es verdadera la conclusión. Este capítulo será la semilla y la raíz del manzano que iremos regando poco a poco. Los ejemplos económicos serán cada vez más interesantes y el argumento sobre la necesidad de la Lógica en el estudio de la economía será cada vez más convincente. b) Cómo dibujar conjuntos. Siempre que dibujemos conjuntos, usaremos diagramas de Venn-Euler. Lo correcto es mostrar todas las posibles intersecciones. En general no es necesario indicar el conjunto universo. Es decir, en general, con dibujar un círculo para cada conjunto al que nos queramos referir es suficiente; no será necesario dibujar un gran conjunto que englobe a todos los demás. La Teoría de Conjuntos pretende darnos claridad sobre diversos temas ayudándonos a dividir los conceptos. Son estas separaciones las que nos interesan. Se sobreentiende que todos los elementos sobre los que tratemos pertenecen a algún conjunto Universo. X Y P  ara dos conjuntos, el dibujo es fácil. El dibujo de la derecha representa a dos conjuntos X, Y. Si queremos representar dos conjuntos disjuntos, es decir, con intersección vacía, sin ningúnelemento en común, sombreamos el área que comparten ambos círculos. Si queremos indicar que existe al menos un elemento en alguna de las secciones del dibujo, ponemos una cruz. El segundo dibujo indica que existe al menos un jazzista que no es cumbiero, que existe al menos un cumbiero que no es jazzista Jazzistas Cumbieros y  que ningún jazzista es también cumbiero. No indica si existe algún objeto que no sea ni jazzista ni cumbiero.Cuando dibujamos un conjunto, indicamos que hay dos clases de objetos, los que están fuera y los que están dentro de éste5. Cuando dibujamos dos conjuntos, quedan indicadas cuatro clases distintas. En el ejemplo de arriba: jazzistas no cumbieros, jazzistas cumbieros, cumbieros no jazzistas y todos los demás (todo objeto del universo al que nos refiramos, que no sea ni jazzista ni cumbiero). M F S  i quisiéramos representar algo como “Todos los marchistas mexicanos flotan” o “Todos los marchistas mexicanos pertenecen al conjunto de los que flotan” o “Ningún marchista mexicano no flota” lo dibujaríamos como en la figura de la derecha donde M es el conjunto de los marchistas mexicanos y F el de las cosas que flotan. En el dibujo está sombreada la parte de M que no es también parte de F. El dibujo indica quetodos los elementos de M son también elementos de F; o, equivalentemente, que ningún elemento de M está fuera de F. Si queremos dibujar tres conjuntos, lo correcto es dejar indicadas ocho secciones distintas. En general, para n Hombres Animales c  onjuntos, el número de secciones distintas es 2^n. Esto es más o menos obvio pues cada nuevo conjunto se añade para dividir al universo en dos clases distintas de objetos; duplica la cantidad de objetos distintos posibles. La figura de la derecha indica varias cosas que pueden resumirse en tres afirmaciones:1) Todos los hombres son animales. 2) Todos los animales son mortales. 3) Existe al menos un hombre. Mortales Un dibujo de cuatro conjuntos tiene dieciséis secciones distintas. Sí puede dibujarse y, de hecho, el dibujo puede parecer relativamente simple. No se necesita ningún truco. Vale la pena intentar dibujarlo por uno mismo. No existe un dibujo de cinco conjuntos en un plano de dos dimensiones donde ningún conjunto esté separado. En la próxima sección veremos cómo es el dibujo de cuatro conjuntos. No es difícil hacer un dibujo para n>4 conjuntos con tal de quitar la restricción de que los conjuntos no estén separados. Abusando un poco de la notación, abajo está un ejemplo de cinco conjuntos que claramente incluye todas las posibles intersecciones. Los conjuntos se llaman A, B, C, D y E. La sección ABCDE por ejemplo, indica que ahí están los elementos de A que no son elementos de ninguno de los demás conjuntos. Los dibujos a la izquierda son las explicaciones sobre qué representa cada sección. Nótese por ejemplo que el primer dibujo no indica que C está contenido en C. ¿Cómo quedaría un esquema similar para seis conjuntos?  A A |
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