Resumen la presente página tiene por objetivo servir como introducción a los Métodos Cuantitativos de Gestión, explicando la evolución histórica de los mismos
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LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La metodología de los problemas planteados por los descubrimientos científico-técnicos para llegar a resultados cuantitativos que sirvan de base a decisiones económicas, técnicas, sociales, militares, y de otros campos, constituyen los denominados Métodos Cuantitativos de Gestión, visión especialmente aplicada, de la disciplina conocida como Investigación Operativa. Los objetivos de los Métodos Cuantitativos de gestión están claramente ceñidos al estudio de problemas de toma de decisiones. Dadas las complejas características de los sistemas objeto de su aplicación, la mayor dificultad que se presenta al estudiar algún aspecto de su funcionamiento aparece en la definición de los límites del sistema que se ha de incluir en el estudio. Una vez se ha definido el marco del problema, las fases del método son inmediatas: La primera fase, formulación del problema, requiere el acuerdo con los responsables de la organización sobre el criterio general que ha de guiar el estudio. Su carácter, desde un punto de vista cuantitativo, suele ser ambiguo y poco operativo, ya que corresponde generalmente a decisiones de tipo estratégico. Pero cumple una función primordial, ya que en base a él es posible enjuiciar qué aspectos deben analizarse. Así mismo, se intentarán determinar los límites del problema que se ha de analizar. La segunda fase consiste en la formulación de un modelo matemático que describe la situación a estudiar. Una característica fundamental del enfoque cuantitativo es el proceso de modelización de un problema o sistema real, ya que la ejecución de su análisis se lleva a cabo sobre el modelo de la realidad y no sobre ella misma. Un modelo es una abstracción o representación simplificada de una parte o segmento de la realidad. Su utilización está motivada porque la realidad es difícil de copiar de una manera exacta, debido a su complejidad y porque una buena parte de esa complejidad es irrelevante al problema específico objeto de estudio. Los métodos cuantitativos utilizan modelos cuantitativos, que tienen como soporte los métodos matemáticos y estadísticos. En el modelo se pueden distinguir dos partes. En la primera de ellas, una vez decididos qué elementos pueden considerarse como modificables o variables, se han de concretar las relaciones que describen el proceso que se está analizando y que pueden tomar la forma de restricciones en el empleo de recursos, de ecuaciones que describen las características del proceso, de árboles que explicitan la estructura del proceso de decisión, etc.. Esta representación se apoya generalmente en un lenguaje matemático más o menos sofisticado de acuerdo con las características del estudio que se esté realizando. Una vez finalizada la construcción del modelo se aborda la selección del criterio concreto de valoración de alternativas. Algunos tipos de modelos, por su propia naturaleza, no permiten la incorporación inmediata de un criterio de valoración. Tal es el caso de los modelos de simulación. Durante esta fase tiene primordial importancia el conocimiento de los métodos y técnicas propios de la disciplina, lo que, por una parte, sugiere posibilidades para la expresión matemática de las relaciones y, por otra, proporciona información sobre lo que se le puede pedir y es de esperar que proporcione el modelo en las fases siguientes cuando se realice su explotación. En la tercera fase, deducción de soluciones, nos concentramos en el análisis y explotación del modelo. Para la realización de esta fase se requiere un bagaje técnico suficiente que permita obtener las soluciones del modelo, si éste es normativo, o las características fundamentales del proceso si es predictivo, conociendo de qué aspectos depende la modificación de estas características en consonancia con los criterios operativos fijados en la fase anterior.Se aplicacrán las técnicas propias de la disciplina. La complejidad consustancial de los problemas tratados conduce en muchos casos al reconocimiento de la imposibilidad de obtención de las soluciones óptimas de los modelos planteados. Pero esto no es más que la consecuencia de la dificultad del problema considerado. En tales casos, la generación de reglas heurísticas para la solución del modelo puede conducir a revelar nuevas formas de actuar en la práctica, valorándose así posibles alternativas no consideradas anteriormente. Indispensable en este caso resulta el conocimiento asociado al análisis y diseño y codificación de algoritmos. Empleando para ello las herramientas y técnicas propias de los desarrollos informáticos. En la cuarta fase es necesario discernir entre las soluciones reveladas en la fase anterior, eligiendo una de ellas o una síntesis de varias. Todo ello en función del criterio global que se fijó en la primera fase. Dado que la experimentación en el ámbito de la empresa suele ser costosa y afecta a la vida diaria de la misma, es conveniente el empleo de la simulación para probar los previsibles efectos de la solución diseñada en un entorno dinámico, probabilístico y con incertidumbres que recoja con la mayor fidelidad posible las peculiaridades del entorno en que se va a implantar. La última fase trae consigo la caracterización en todos sus detalles de la decisión tomada, previendo las etapas de su implantación y especificando la secuencia de acontecimientos que la pondrán en funcionamiento.  MÉTODOS CUANTITATIVOS DE GESTIÓN La formación en MÉTODOS CUANTITATIVOS DE GESTIÓN tiene como objetivo la formación del alumno en los conceptos y técnicas básicas de la Investigación Operativa, así como en el empleo de modelos matemáticos para la resolución de problemas de gestión e ingeniería y en el análisis y desarrollo de algoritmos básicos y herramientas para la optimización. La formación previa de los alumnos en matemáticas y su aplicación al ámbito de la física, favorece que la asignatura se oriente con especial énfasis a los aspectos de modelado de problemas de gestión, con el convencimiento de que solamente a partir de un conocimiento profundo de los instrumentos y técnicas existentes es posible alcanzar la madurez necesaria para una aplicación mesurada y juiciosa de los métodos cuantitativos. Los contenidos de asignaturas de MÉTODOS CUANTITATIVOS se exponen a continuación. este tipo de asignaturas son impartidas a alumnos de Ingeniería de diversas titulaciones, en cada caso se profundizará en mayor o menor detalle en los diferentes aspectos de la materia. Resulta esencial para alumnos en cuya formación sea necesario tomar contacto con temas de proiducción y en general con aspectos relacionados con la disciplina denominada Management Science. Cada módulo de los presentados a continuación se centra en una técnica diferente o en la aplicación de las técnicas estudiadas a un tipo diferente de problema. La materia está organizada desde lo general a lo particular. Cada módulo debe comenzar con un tema a modo de introducción para profundizar con posterioridad en las técnicas empleadas y sus refinamientos. De esta manera, el programa propuesto pretende obtener un desarrollo progresivo y equilibrado de la asignatura. Se consideran necesarias la realización de al menos dos trabajos de tipo práctico. PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal nace, a partir de la Segunda Guerra Mundial, como una técnica dedicada a la resolución de cierto tipo de problemas de asignación de recursos entre diferentes actividades. Las aplicaciones posteriores a otros problemas han sido muy numerosas, de manera que los modelos de programación lineal constituyen una de las herramientas mas utilizadas en Investigación Operativa. El objeto de este módulo es introducir al alumno en la programación lineal. Esto supone la construcción de un número apreciable de ilustraciones y el desarrollo riguroso de la programación lineal, empleando exclusivamente argumentos constructivos para la obtención de los resultados. Inicialmente se utilizan argumentos geométricos que permiten al alumno visualizar el método de resolución. A continuación, se realiza el desarrollo algebraico que da lugar al algoritmo Simplex y sus derivados, con lo que el alumno debe ser capaz al final del módulo de resolver problemas lineales. Como parte del contenido referente a este módulo, es conveniente instruir al alumno en el manejo de alguna aplicación informática como «XA Professional Linear Programming System» de «Sunset Software Technology», CPLEX, u otras de propósito mas general como MATLAB con, empleadas como instrumento para la resolución de problemas con pretensiones realistas, que dan lugar a modelos de tamaño apreciable. Se expone la metodología para la construcción de aplicaciones generadoras de modelos. A continuación, se introduce el concepto fundamental de la dualidad. Desde el punto de vista algorítmico, se describe el método simplex-dual y se realiza el estudio de post-optimalidad, señalando la importancia del análisis de sensibilidad en el modelo. FLUJO EN REDES Se trata de un módulo centrado en el problema de transporte, sirviendo como finalización del módulo dedicado a programación lineal en general, para iniciar el análisis de problemas con estructuras especiales. Además de ser un clásico en programación lineal y servir como puente al estudio de problemas en grafos unimodulares, este tema se trata inicialmente como la aplicación del método simplex pero con una disposición de la información mucho más compacta. Se describe su representación de forma intuitiva sirviendo de introducción al empleo de los grafos para el modelado de problemas de distribución. La resolución del problema de transporte con limitación de capacidad en los arcos se utiliza como excusa para generalizar el criterio de optimalidad del algoritmo Simplex en el caso de variables acotadas superiormente. Continuando con los modelos sobre grafos, se estudia el problema de la ruta mínima y el problema básico de maximizar el flujo de un grafo. A través del primero de ellos se muestra como la unimodularidad de la matriz del grafo permite modelar, con programación lineal continua, un problema con variables enteras. Se presentan los grafos asociados a problemas de ruta mínima y transbordo y su transformación en problemas de asignación y transporte respectivamente. Se completa el módulo con el estudio de problemas de distribución y su análisis mediante el método primal-dual. En particular, el problema de transporte, el de asignación, transbordo y ruta mínima, considerando limitaciones de capacidad en los arcos. Se destaca la obtención de soluciones iniciales a través del cálculo de la ruta mínima para los tres primeros, y la solución a los problemas primales reducidos a través de la obtención del flujo máximo en un subgrafo dado. También se discute, con todo detalle, la obtención de la solución al dual reducido. Se resalta la metodología y su interpretación como proceso de mejora de la estimación de precios. Se explica en detalle el desarrollo informático de dichos métodos. PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA El siguiente módulo introduce la programación lineal entera mediante el modelado de situaciones en que existen variables de decisión, implicaciones lógicas o relaciones disyuntivas. El modelo lineal entero se analiza como una complejidad añadida al modelo lineal en el que la matriz tecnológica no tiene la estructura unimodular peculiar de los problemas de grafos. Al pretender resolver el modelo, se descansa sobre los métodos de programación lineal continua, proponiendo modificaciones intuitivas para alcanzar la solución al problema lineal entero. Con este planteamiento se desarrollan los métodos de cortes en bastante detalle pero de una forma unificada. Posteriormente, tras describir métodos para problemas mixtos, se introduce la exploración dirigida. Primero informalmente y después con rigurosidad. Se esbozan referencias a métodos de mejora en el cálculo de cotas, tales como la relajación lagrangiana y se analiza la variación de Dakin al algoritmo general de Lang-Doig. La explicación de la exploración dirigida se acompaña con la resolución de diversos problemas, de manera que el alumno perciba las características particulares del método aplicado a situaciones diversas. Como parte del contenido referente a este módulo se profundiza en el manejo de la aplicación «XA Professional Linear Programming System» en los aspectos referidos a la resolución de problemas lineales enteros mediante exploración dirigida y en el diseño y desarrollo de algoritmos específicos. TEORÍA DE JUEGOS El cuarto módulo, Teoría de Juegos, aborda un conjunto de situaciones caracterizadas por la lucha o enfrentamiento entre dos o más oponentes. Todo juego tiene un fin o meta, objetivo de los jugadores, que toman decisiones permitidas por un conjunto de reglas predefinidas con la finalidad de alcanzarlo. Inicialmente se presentan situaciones que recogen juegos bi-personales de suma nula. Se discuten los conceptos básicos en juegos matriciales, analizando la sofisticación del concepto de estrategias mixtas. Pretendiendo formular la situación en que se encuentran dos jugadores con criterio conservador, se observa que corresponde a dos problemas lineales duales entre sí, conduciendo uno de ellos al valor inferior y el otro al valor superior del juego. Se discute la íntima relación entre un problema de optimización y uno de antagonistas a través de la teoría de la dualidad. A partir de estos elementos se muestra la existencia de equilibrio en estrategias mixtas y se describe la solución de juegos matriciales mediante programación lineal. Se amplían los resultados al caso de juegos bi-personales de suma constante, mediante su reducción al caso anterior. A continuación se analiza el caso de juegos simétricos y su relación con un par de problemas duales en forma simétrica. Posteriormente se generalizan los resultados al caso de juegos n-personales de suma cero y de suma constante. TEORÍA DE LA DECISIÓN En el quinto módulo se realiza una sucinta introducción al análisis de alternativas en diversos entornos. Se describe la base bayesiana asociada a la estimación subjetiva de las probabilidades de los sucesos como un instrumento conveniente para abordar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en las que no se dispone de información completa. Se introduce el concepto de agentes con propensión y aversión al riesgo como pretexto para la presentación de la necesidad del concepto de utilidad. Se muestra que los supuestos de coherencia asociados a la construcción de funciones de utilidad permiten extender los conceptos de valor medio esperado en entornos probabilísticos al de maximización de funciones de utilidad mediante el empleo de probabilidades a priori en entornos de incertidumbre. Se presenta exhaustivamente la construcción de árboles de decisión como instrumentos que completan las técnicas del análisis de decisiones. Se analiza el valor de la información en este contexto. PROGRAMACIÓN DINÁMICA El sexto módulo se dedica al estudio de problemas de decisión secuenciales o de múltiples etapas. Son problemas caracterizados porque las variables que los describen están gobernadas por transformaciones en el tiempo. La solución de estos problemas se inspira en el principio de optimalidad, propuesto por Bellman a principios de los años cincuenta, consiguiéndose una importante reducción del tiempo de resolución para algunos problemas, que de otra manera resultarían computacionalmente intratables. A diferencia de la programación lineal, no existe una forma estándar para el modelado de los problemas de programación dinámica. En el caso de horizonte finito, el esquema general de búsqueda del óptimo se basa en la resolución recursiva de subproblemas asociados a cada una de las etapas. Se propone el análisis secuencial, definiendo el valor de una transición y el valor terminal del proceso de una transición. Posteriormente, y siempre en base a ilustraciones, se analiza rigurosamente el proceso secuencial argumentando el principio, las ecuaciones y el criterio de optimalidad. Se muestra como los problemas dinámicos deterministas, en los que los conjuntos de estados y decisiones son finitos, son representables mediante una red sobre la que la solución óptima corresponde a la ruta mínima. Se introducen las transiciones probabilísticas y el concepto de ganancia óptima esperada. Finalmente se presentan los métodos estacionarios en horizonte infinito para analizar sistemas estables sin periodo de terminación definido. Se analiza el significado de ganancia acumulada, descontando los valores futuros y la tasa de ganancia por periodo. Se muestra el método constructivo de mejora de políticas y su equivalencia con la resolución de ambos tipos de problemas mediante programación lineal. |
