Guía 4 Del estudiante Modalidad a distancia






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Guía 4
Del estudiante
Modalidad a distancia


Modulo

CÁLCULO UNIVARIADO

AMINISTRACIÓN TURÍSTICA Y HOTELERA

II SEMESTRE


DATOS DE IDENTIFICACION

TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas

Teléfono 435 29 52 – CEL. 310 768 90 67

E-mail leav70@gmail.com

http://guias-uniminuto.wikispaces.com
Lugar Madrid Cundinamarca

Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca





APLCACIÓNES DE LAS DERIVADAS EN LA SOLUCIÒN DE PROBLEMAS
ACTIVIDADES DE INTEGRACION

Actividades Individuales

Tiempo Independiente

Tiempo presencial

Actividades por CIPAS

Tiempo Independiente

Tiempo presencial

El estudiante debe leer los conceptos del capitulo Derivadas de alguno de los textos recomendados, puede visitar sitios de internet para apropiarse de las aplicaciones de las derivadas a la Administración y a la Economía



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Por CIPAS, los estudiantes construirán un mapa conceptual de los conceptos de derivadas y sus aplicaciones en la teoría administrativa.
Por CIPAS, solucionaran los ejercicios propuestos en la guía y socializaran por parejas en la tutoría del sábado 12 de noviembre.



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ACREDITACION DEL NUCLEO PROBLEMICO


  • El estudiante realizará y entregará las actividades independientes y por CIPAS establecidas en las actividades de integración; en la tutoría respectiva de acuerdo a lo pactado en el acuerdo pedagógico.

  • Durante la tutoría, se realizara una sesión de aclaración de dudas y de refuerzo de conceptos del núcleo respectivo.

  • Al finalizar la tutoría de hará una evaluación individual de los procesos desarrollados por el estudiante.



ACREDITACION GENERAL DEL CURSO DE CALCULO DIFERENCIAL UNIVARIADO
El modelo pedagógico exige de la evaluación un proceso que involucra a estudiantes y tutores, y donde las características de ésta al ser flexible, permanente, sistemática y auto formadora, permiten al estudiante mostrar avances o señales de su aprendizaje durante la actividad tutorial, (60%), y concluir en las convocatorias para completar el resultado académico y cuantitativo de la evaluación del curso, (40%). Por lo tanto, el resultado final será el producto del trabajo del estudiante en el proceso tutorial y de convocatorias.

Tanto el proceso tutorial como de convocatorias, involucran de manera estructural la temática desarrollada, donde el estudiante deberá confirmar o alcanzar un desarrollo optimo de los aspectos conceptuales, operativos, gráficos y analíticos de la, enfocadas a problemas de aplicación a la ingeriría.
De acuerdo al reglamento estipulado por la Universidad del Tolima y el Instituto de Educación a distancia, el 60% el proceso de la construcción del conocimiento a través del trabajo extra e intratutorial y que en este caso será:
INTRODUCCIÓN

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

1. Tasa de variación media

Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalohttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image002.gif

 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] = http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image003.gif

 

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función

f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución

T.V.M. [0, 2] = http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image004.gif

 

Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] seríahttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image005.gif.

 

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image006.gif

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image007.gif, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image008.gif=http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image009.gif

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image010.gif

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1.

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image011.gif en x =0 son 1 y –1.

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image012.gif       http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image013.gif

 

Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.

 

Proposición. Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto.

El recíproco es falso.

Ejemplo 2. http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image011.gif es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada

         Consideremos la función espacio E= E(t).

         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image014.gif, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image015.gif, calcula la velocidad en el instante t =5.

         Solución

         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

3. Interpretación geométrica de la derivada

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

 

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))

La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image016.jpg

Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0

Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1.

Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

 

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas

 

La función derivada

La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por .

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x)  =k  f´(x) =0

2) f(x) =  xn  f´(x) = nxn-1

3) f(x) = http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image017.gif  f´(x) = http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image018.gif

4) f(x) = ln x  f´(x) = http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image019.gif

5) f(x) = ex  = ex

6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x

7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x

Reglas de derivación

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f +g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a)http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image020.gif0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image021.gif

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b) http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image022.gif

c) h(x) = tan  x;  d) http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image023.gif
 

Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:

a) f(x)= http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image024.gif          

Observación: la gráfica de esta función es:        http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image025.jpg

b) y =http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image026.gif

c) g(x)=http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image027.gif

 

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,

y  f ´´´, f ´ v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.

 

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) =http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image019.gif; c) h(x)= sen x.

 

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica:

(fg)´(a) = f´(g(a)).g´(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)

Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image028.gif y’http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image029.gif, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

 

Método:

Sea http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image030.gifhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image031.gif

1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image032.gif=g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva      http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image033.gif

 

3º Se despeja y’

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image034.gif[http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image035.gif]http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image036.gifhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image037.gif[http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image035.gif]

 

que puede escribirse : http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones_archivos/image038.gif

 

Observación. La fórmula por ser muy “compleja[1]” no suele aplicarse  es preferible aplicar el método en cada ejercicio.

 
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