2 1 | Antecedentes históricos
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Mapa de contenido 2.1 Conceptos básicos 2.1.1 | Antecedentes históricos En el año 1654 un jugador de juegos de azar, Antonie Gombaud, conocido como el caballero de Méré, tenia duda respecto a como repartir una apuesta ya hecha cuando el juego de dados que se jugaba, llamado de los puntos, debía quedar inconcluso. El juego lo ganaba quien lanzando dados llegaba primero a una cantidad de puntos. Como era conocido suyo el matemático francés Blaise Pascal, acudió a el para que se le propusiera un respuesta. Pascal a su vez entablo correspondencia con su paisano Pierre de Fermat y entre ambos resolvieron el problema. De sus hallazgos surgió la teoría moderna de la probabilidad. Posteriormente, a principios del siglo XVIII, el descubrimiento del matemático suizo Jacques Bernoulli de la ley de los grandes números es un teorema que permite interpretar la probabilidad de un evento mediante las frecuencias relativas observadas al practicar un experimento: Si se repite un experimento un número muy grande de veces bajo idénticas condiciones sin que un ensayo afecte lo que suceda en otro ensayo posterior, entonces la probabilidad de un evento específico será aproximadamente igual a la frecuencia relativa observada de ese evento. En aquel mismo siglo, el matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754) enuncio otro teorema fundamental de la probabilidad: el teorema del límite central. Este teorema establece que La distribución de frecuencias de las medias aritméticas () de las muestras de tamaño n que pueden tomarse de una población es aproximadamente es un campana de Gauss o una distribución normal. En el siglo XIX la probabilidad se alimento con varios resultados importantes algunas aplicaciones novedosas. Sin embargo, el siglo XX vio emerger a la teoría con enorme fuerza. La teoría se axiomatizo en la década de 1930. Dos ramas de la física nacidas en ese tiempo, la física cuántica y la mecánica estadística, se fundamentan en la teoría de la probabilidad. Para el estudio de la genética fue inevitable aplicar los resultados de la probabilidad. De igual manera, en ese mismo momento la experimentación agrícola permitió desarrollar nuevas técnicas estadísticas probabilísticas en el diseño de experimentos y al mismo tiempo la industria introdujo las técnicas de control estadístico de calidad y el muestreo probabilístico de lotes. Las aplicaciones de la probabilidad se acrecentaron durante la segunda guerra mundial y se desarrollaron nuevas aplicaciones prácticas de la teoría, como la de la teoría de juegos y en la investigación de operaciones. Posteriormente, las aplicaciones de la probabilidad se extendieron prácticamente a todas las ramas productivas humanas; la medicina, la economía, la política, el estudio de la historia, la arqueología, la comunicación, la aeronáutica, la electrónica, las ciencias computacionales, etc. 2.1.2 | Fenómeno aleatorio Para iniciar el estudio de los conceptos básicos de la probabilidad, analiza el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.1 Un juego de dados consiste en adivinar el número de puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores hacen su apuesta por un número de puntos antes de lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie adivina, lo apostado se guarda para el próximo juego. Los jugadores se turnan para elegir primero un número por el cual apostar.
El Juego descrito en el ejemplo 2.1 corresponde a un fenómeno aleatorio, para el cual no se pueden predeterminar los resultados antes de practicar un experimento aleatorio asociado y observarlos. Fenómeno aleatorio: Es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al repetirlo y observarlo sin que cambien las condiciones en que se desarrollan no siempre produce el mismo resultado sino que los datos o mediaciones suceden con regularidad estadística. Al reflexionar sobre el juego de dados antes descrito, se concluye que los resultados posibles son 6 (1, 2, 3, 4, 5, o 6 puntos), pero ningún jugador sabe antes de lanzar el dado cuantos puntos caerán. El termino regularidad estadística que al practicar repetidamente el experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se obtiene una frecuencia relativa, la cual, desacuerdo con la ley de los grandes números se aproximara al verdadero valor de la probabilidad del evento si el numero de observaciones n es grande. Algunos eventos posibles a desarrollarse el experimento de lanzar el dado son: A: “Caen cuatro puntos”, A={4}. B: “Caen mas de cuatro puntos” , B={5,6}. C: “Cae un numero par de puntos”, C={2,4,6}. Otro ejemplo de fenómeno aleatorio es el siguiente. Ejemplo 2.2 Se lanza un dardo a un blanco circular de 50 Cm de diámetro, desde una distancia de 3m. se medirá la distancia en Cm. Desde el centro del blanco hasta el lugar donde pego el dardo. En este caso,
A: “El dardo pego a 20 Cm del centro”, B: “ El Dardo pego a menos de 10 Cm del blanco”, Etcétera. Los eventos se relacionan directamente a un fenómeno aleatorio y, desacuerdo con lo que estudiaremos en esta unidad, cada uno de ellos tiene una probabilidad que representa una medida matemática de su ocurrencia o posibilidad. Probabilidad: Es una rama de las matemáticas que construye y estudia los métodos para medir y analizar fenómenos aleatorios, en los cuales cada resultado posible es producto del azar. Un método de análisis de un fenómeno aleatorio consiste en crear un modelo de todos los resultados posibles del experimento, llamado espacio muestral. Actividades de aprendizaje Reúnete con tres compañeros de tu grupo y contesten lo que se les pide en esta actividad. Contraste sus resultados con los de algunos otros compañeros. Si tienen alguna duda, acudan con su maestro (a). 1 Fenómenos aleatorios Definan seis fenómenos aleatorios distintos, tres asociados a una variable continua y tres relacionados a una variable discreta. Para cada uno de ellos: a.- Determinen la variable. b.- Determinen el tipo de variable que se estudiaría. c.- Determinen la población que se estudiaría. d.- Definan tres eventos determinados por el fenómeno aleatorio. 2.1.3 | Espacio muestral El concepto de espacio muestral es fundamental en la teoría de la probabilidad- Para iniciar su estudio, considérense los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.3 Al lanzar una moneda al aire en un juego de “Volados”, los resultados posibles del experimento son dos: cae Águila, a, y cae sello, s. se dice que el espacio muestral del experimento o fenómeno aleatorio es el conjunto S={a,s}, y cada resultado recibe el nombre de punto muestral. Un espacio muestral es un modelo. Ejemplo 2.4 En un juego de cartas se construyen tres de ellas, indistinguibles en su forma, papel, color y tamaño, cada una marcada con un digito: 1, 2 y 3. El juego consiste en barajarlas y tomar al azar dos observándose la suma de los números. Los resultados posibles del experimento son 3.4 y 5; luego el espacio muestral del experimento aleatorio es S={3,4,5}. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles que pueden ocurrir al practicar un experimento; se denota con la letra S. Ejemplo 2.5 Si se repite el experimento consistente en lanzar al mismo tiempo una moneda. (a: águila, s: sello) y un dado (1,2,3,4,5,6 puntos), los resultados posibles son 12. Esto es, el espacio muestral del experimento, al igual que los dos espacios definidos antes, es numerable, es decir, se pueden contar todos sus puntos muéstrales: S={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(s,1),(s,2),(s,3),(s,4),(s,5),(s,6)} Sin embargo, no todos los espacios muéstrales son finitos o siquiera numerable. Esto depende de la variable que se estudie. Ejemplo 2.6 Consideremos el espacio muestral del experimento consistente en lanzar una moneda al aire repetidamente hasta que cae el tercer sello. En este caso no podemos determinar en cual lanzamiento el tercer sello. Si i es el numero de lanzamiento en que cae el tercer sello, i=3,4,5,… . Así, el espacio muestral es S={3,4,5,…}; los tres puntos suspensivos indican que los puntos muéstrales en S son técnicamente una infinidad, aunque la variable es discreta por que toma sus valores enteros (puede ser que nunca aparezca el tercer sello). Este espacio muestral es infinito numerable. Ejemplo 2.7 Si se mide el tiempo t en minutos que tarda un estudiante al ir a su casa a su escuela, el espacio muestral es S={t:0 Así, la variable observada en el experimento determina el tipo de espacio muestral, según se define en el esquema de la figura 2.1.  Actividades de aprendizaje Trabaja con un compañero de tu grupo para resolver las siguientes actividades. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Si tienen alguna duda acudan con su profesor (a) para aclararla. 1 Apuestas con “volados” Dos personas deciden jugar apuestas lanzando dos monedas al aire. Un jugador apuesta a un resultado posible. Para que las apuestas sean justas. Ellos deben construir el espacio muestral del experimento y determinar como serán equitativas. a.- ¿Cuál es el espacio muestral? b.- ¿Cuántos puntos tiene el espacio muestral? c.- ¿Es justo apostar 1 peso contra 1 peso al evento A:”cae 2 sellos” contra el evento B:”cae un sello y una águila”? ¿Por qué? Argumenten. d.- Si un jugador apuesta 2 pesos al evento B:”cae un sello y una águila”, ¿Cuánto deberá pagar el otro jugador si pierde, de modo que la apuesta sea justa? ¿Por que? 2 Combinaciones de camisas y corbatas El señor Martínez determina combinar al azar sus tres camisas diferentes y sus dos corbatas distintas. Las camisas son de color azul (A), Blanco (B) y verde (V), y las corbatas son de color café (C) y negro (N). a.- Definan el espacio muestral del experimento. b.- Si este proceso se repite 100 veces, ¿que porcentaje de ellas cabe esperar que el Sr. Martínez se vista según el evento “corbata negra y camisa blanca”? ¿Por qué? (sugerencia: mediten primero lo siguiente: si se lanza una moneda 100 veces, ¿Cuántas veces se espera que ocurra águila? ¿Qué porcentaje de las ocasiones?) c.- ¿Cuántas de 100 veces cabe esperar que el Sr. Martínez se vista según el evento “camisa blanca”? ¿Por qué? 2.1.4 Eventos Los eventos surgen naturalmente al observar un fenómeno o experimento aleatorio, por que este no produce los mismos resultados al observarse. Al terminar la primera unidad se definió un evento de la siguiente manera: es un suceso que pueden no ocurrir en el contexto de un experimento o de una investigación. Puesto que en probabilidad se estudia un fenómeno o experimento aleatorio partiendo de su espacio muestral, es necesario redefinir la palabra evento. La siguiente experiencia permitirá definir los conceptos de evento simple y evento compuesto. Ejemplo 2.8 Un tablero cuadrado se divide en 4 cuadros iguales, los cuales se numeran 1,2,3 y 4. Se eligen dos de los cuadrados para colocar una moneda de 1 peso y otra de 5 pesos. El espacio muestral del experimento es S={(1,1),(1,5),(2,1),(2,5),(3,1),(3,5),(4,1),(4,5)}. En este espacio muestral el primer número en el par ordenado representa el número del cuadrado y el otro numero, la denominación de la moneda. Cada punto muestral puede convertirse en un evento simple; A={(1,1)}; B={(1,5)}; C={(2,1)};… Hay 12 eventos simples. Pero también se pueden construir eventos compuestos. E: “La moneda de 5 pesos se deposita en cuadro con numero par”, E={(2,5),(4,5)}, o F: “La moneda de 1 peso se coloca en la celda 1 a la 2”, F={(1,1),(2,1)}.  Así un evento en la teoría de la probabilidad se refiere a un subconjunto de resultados posibles de un experimento. Dado que los resultados posibles están en el espacio muestral S, ahora se define un evento como sigue: Evento: Es un subconjunto de un espacio muestral. Todo evento o subconjunto de S se denota con una letra mayúscula. Un subconjunto es un nuevo conjunto cuyos elementos son una porción de puntos muéstrales de S si la variable es discreta, o un intervalo de puntos sobre una recta si es continua. Con base en lo anterior los eventos asociados a una variable se clasifican en dos tipos, como se observa en el esquema de la figura 2.3.  Consideremos el siguiente ejemplo, que implica un espacio muestral infinito no numerable y algunos eventos relacionados a él. Ejemplo 2.9 ;- En una investigación acerca del aprendizaje de adultos profesionistas sanos y activos, se midió el tiempo en que logran memorizar un conjunto de 10 ternas de letras sin sentido : qyt, mrm, jlr, etcétera . La variable que se mide es continua, y el espacio muestral de este experimento se definió como: S ={t:5 < t < 30 minutos}. En este caso, un evento simple sería U:un profesionista memoriza las diez ternas en exactamente 10 minutos , U = {t;t = 10 minutos}. Dos eventos compuestos son: V:un profesionista memoriza las tripletas en exactamente 10 min. O en exactamente 15 minutos, V={t:t=10min o t=15min}, y W;un profesionista memoriza las ternas en más de 20 minutos, W={t:t>20 min}. El evento V es un numerable infinito, mientras que el evento W es infinito no numerable, cuando la variable es continua, a los eventos que se definen mediante uno o varios puntos muéstrales se les asigna probabilidad igual a 0, por que si existe una infinidad de puntos, se estima imposible que un evento puntual específico pueda ocurrir, en el segundo evento compuesto, W={t:t> 20 min.} se lee : W es el conjunto de los tiempos t tales que t es mayor que 20 minutos. Trabaja en equipo con tres de tus compañeros de grupos y contesten lo que se te pide en las siguientes actividades. Si tienen dudas, acudan con su maestro. 1-. ASIGNACIÓN DE OFICINAS En una dependencia de gobierno se asignarán al azar tres oficinas , 1,2,y 3 administradores, A,ByC, una a cada uno. a-.describan el espacio muestral. b-.definan tres eventos compuestos. c-.¿tienen cada administrador las mismas posibilidades de obtener la oficina 1? ¿Por qué? Observan el espacio muestral y contesten. PROFUNDIDAD DE POZOS La profundidad que se encuentre agua en la zona del bajío es una variable aleatoria, la cual se mide en metros. Para un estudio de perforaciones que se realizó en el año 2006 el espacio muestral se definió como S={p:p≥0 metros } a-.definan un evento imposible. b-. definan tres eventos compuestos c-.¿por qué no tiene sentido especificar un evento tal como perfección encuentra agua a exactamente 53.485 metros? (expliquen) |
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