La figura muestra a la izquierda una hoja de cartón a la que se le acortan cuadrados iguales en cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa, como lo

UNIDAD 1 LAS FUNCIONES EN EL CONTEXTO DE LOS PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MINIMOS V= 1 a h 30cm h a 50cm 1 La figura muestra a la izquierda una hoja de cartón a la que se le acortan cuadrados iguales en cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa, como lo muestra el dibujo de la derecha. ¿ de que tamaño deben ser los cuadrados que se quitan para que la caja tengan el máximo volumen posible? PROPÓSITO antes de que revises el contenido de esta unidad , es muy importante de que conozcas: que aprenderás y para que aprenderás. ¿Que aprenderás? Métodos del precalculo para aproximarte a la solución de los problemas de máximos y mínimos. Conceptos de función, dominio, rango, así como un método aritmético geométrico para graficar funciones. Utilizar la computadora para resolver máximos y mínimos. .............................................................................................................................. ¿cómo lo lograras? Resolviendo problemas de la vida cotidiana en los que realizaras en equipo un trabajo sistemático, y ordenado, que tiene dos momentos: en el primero, tu equipo trabajara para proponer sus ideas y alternativas de solución a los problemas planteados; después, en un segundo momento, en el grupo cada equipo expondrá sus resultados y argumentara sobre como los obtuvieron. Como producto de este trabajo se llegara a la solución de los problemas. También utilizaras la computadora y la calculadora. ............................................................................................................................................. ¿ para que aprenderás? Para conocer la utilidad de la matemática en la resolución de problemas de máximos y mínimos, así como para textualizar el concepto función. Además se pretende que con esta forma de trabajo se cumplan los propósitos generales de nuestro bachillerato, como son: Desarrollar tu creatividad y tu habilidad para resolver problemas y que aprendas a trabajar en equipo. Aprender a escuchar con propiedad a tus compañeros y desarrollar tu habilidad para la lectura y comprensión, tu expresión oral y escrita, así como tu capacidad para tu critica propocitiva y tu critica constructiva. propiciar valores como tu autoestima, la valoración de tu trabajo, tenacidad, tu sentido de responsabilidad, la solidaridad, la libertad y justicia. INTRODUCCIÓN Es muy común encontrarse en la vida con situaciones en las que es necesario tomar la mejor decisión posible; es decir, la decisión optima. Tale problemas abundan en las distintas ramas de la ciencia y la tecnología, como la economía y la ingeniería. Para resolver estos problemas es indispensable elaborar un modelo matemático que se llama función del problema. Por ejemplo, en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de dispositivos con las mínimas perdidas de material, o de fabricar piezas que sean lo mas resistentes posible y al mismo tiempo lo mas ligero que sea posible; de reducir los gastos de producción, economizando no solamente materia prima sino también combustible, energía eléctrica, tiempo y otros factores . Estos problemas que se reducen a obtener un efecto máximo ( máxima producción, máxima resistencia, etc.) se conocen con el nombre de problemas de optimización ( también se les llama problemas sobre máximos y mínimos o problemas sobre extremos). La experiencia ha mostrado que enfrentar situaciones de este tipo con ayuda de las matemáticas en la resolución de problemas de maximización empezó aproximadamente hace 25 siglos. Al principio no hubo un enfoque único en la solución de problemas de optimización. Fue hasta el siglo XVII cuando se creo un método general que permitió resolver problemas de máximos y mínimos de la mas diversa naturaleza, gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron ilustres sabios y científicos de todas las épocas como: Euclides ,Arquímedes, Apolonio, Heron, Tartagia, Torricelli, Johann y Jacob Bernoulli, Fermat, Barrow, Newton, Leibniz y muchos otros. Este método general, complementado con los conceptos que le sirven de sustento: función, limite, y derivada, se construyo en la rama del conocimiento matemático a la que se le ha dado el nombre ya clásico de calculo referencial. El método de calculo diferencial resulto ser una poderosa herramienta para la resolución de problemas de optimización de las mas variadas ramas de la ciencia y de la técnica; también proporciono una comprensión mas profunda de la naturaleza y de la leyes que la rigen, por que pueden ser formuladas como problemas de optimización. Los sistemas mecánicos, la luz, la electricidad, los líquidos y los gases, etc., se comportan de un modo tal que su evolución minimiza o maximiza ciertas cantidades físicas. Fermat encontró que la refracción de la luz se explica por el hecho de que, al propagarse de un punto a otro en un medio heterogéneo, la trayectoria de refracción es precisamente la que requiere el tiempo mínimo. La evolución paulatina de la ciencia y de la técnica, particular menta vertiginosa en el siglo xx, planteo toda una serie de nuevos problemas de optimización que, a pesar de su aparente simplicidad, no se pudieron resolver con el método de calculo diferencial. La necesidad de dar respuesta a tales problemas condujo a la creación de nuevas ramas de las matemática, como el calculo variacional, la programación lineal, el análisis convexo y la teoría de la dirección optima. Se pueden distinguir diferentes niveles sobrados de complejidad de los problemas de optimización, y a cada uno le corresponde un método de solución y su respectiva teoría de la matemática. En nuestro curso solo analizaremos el método de solución de los problemas elementales de optimización, cuya teoría es el calculo diferencial. Pero el calificativo de elementales no es sinónimo de fáciles o de poco interesantes, pues abordaremos problemas importantes desde el punto de vista de su sentido practico y también en un cierto grado de complejidad. ESQUEMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD 1 Este esquema muestra lo que estudiaremos en esta unidad; su propósito es que tengas una idea general de los contenidos matemáticos que vamos a abordar en esta parte del curso. Resolverás problemas de máximos y mínimos Con la herramienta matemática del precalculo Estudiaras la estrategia de resolución De estos problemas En este contexto estudiaras las funciones RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MINIMOS CON EL PRECALCULO Actividades de aprendizaje 1.-El gallinero. Doña Josefa habitante de Ures, ha creado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas, pero esto le ha ocasionado una serie de problemas, por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa; sus ahorros solo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de material para cercarlo. Si el terreno donde desea construir es de 20 metros por 40 metros,¿ que dimensiones deberá tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compro) para que este abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas? ................................................................................................................................................... Recomendación: en tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto,en equipo consulten con su maestro. ................................................................................................................................................... con tu equipo lee el problema y anota lo que se te pide encontrar. Has un dibujo en el que representes el gallinero, con la condición de que incluyas la información que se te proporciona en el problema. coloca la base del gallinero paralela al lado del terreno de 20 metros. Antes de hacer el dibujo, con tu equipo elaboren la lista de información contenida en el enunciado del problema. a continuación dibuja cuatro rectángulos distintos ( que simulen el gallinero) donde la longitud de la cerca sea de 50 metros. De estas opciones, cual es la mejor? ¿por qué? ¿son las únicas opciones posibles? ¿ cuantas mas existen? Para responder estas preguntas toma en cuenta lo siguiente : Como lo observaste en la actividad del inciso d), puedes construir al menos cuatro gallineros: significa que existen al menos cuatro medidas para la base, que vamos a llamar b. Consideremos que se le puede asignar a b el valor de 1 metro y después se le puede asignar cada entero consecutivo hasta llegar a 20 metros; esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 20 formas distintas. Ahora tomemos en cuenta que la base puede tomar valores numéricos que tengan decimos, del 1 al 20, entonces b adquiere los siguientes valores: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5... hasta el 20. significa que se puede hacer gallinero de 200 formas distintas. Si le asignamos a la base de valores que tengan centésimos del 1 al 20, se pueden hacer 2000 gallineros . También la base puede tomar valores numéricos que tengan milésimos, del 1 al 20, entonces se pueden hacer 20000 gallineros de formas distintas. Y así sucesivamente. como ya te diste cuenta, existen muchas posibilidades de construir el gallinero. Anota y ordena la información de los rectángulos en el cuadro 1.1, que se muestra a continuación. Si hay casillas que no se puedan llenar con valores numéricos, argumenta por que. En las celdas del ultimo renglón del cuadro escribe las formulas que utilizaste para calcular altura, largo del cerco y área. Base (m) Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m2) 5 8 10 14 18 20 25 30 b g)de los valores que se enlistan en el cuadro 1.1,¿cuál gallinero representa la mejor opción? de todos los posibles gallineros que existen,¿ el que seleccionaste en la actividad anterior representa el mayor área posible? Si piensas que existe una mejor opción,¿ entre que valores de la base se encuentra? Para que tengas mas claridad de donde buscar colorea en el cuadro 1.1 las tres mejores opciones. Utiliza el cuadro 1.2 para encontrar mejores aproximaciones, si es que las hay. Si lo consideras necesario aumenta el numero de renglones que se proponen. Base (m) Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m) De los valores enlistados en el cuadro 1.2, ¿cuál es la mejor opción? ¿es esta la mejor de todos los gallineros que existen? Hasta el momento podemos concluir cual es la mejor opción de números enteros. Pero de la actividad del inciso e) se desprende que existen gallineros en números que no son enteros. Elabora una tabla con mejores aproximaciones en los números con decimos. Posteriormente elabora un cuadro con mejores aproximaciones en los números con centésimos. Comentario Cuando resuelves un problema, por lo general esperas con facilidad que su solución se encuentre en los números enteros positivos; sin embargo, no siempre es así. El tipo de numero que se obtiene en la resolución de los problemas es variada: es decir, la solución de un problema puede expresarse con números cuya escritura y operación son mucho mas complejas que los números enteros positivos. Por esta razón, a continuación encontraras una lectura para proporcionarte información del tipo de números que has manejado hasta aquí, en el estudio de las matemáticas a lo largo de tu carrera escolar. Lectura complementaria: números reales Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo. Posteriormente coméntalas con tu grupo. Los números naturales Son considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. inicialmente su representación fue hecha por medio de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIIII, IIIIIIII....... Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente; intenta de esta manera representar el numero 68. esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación, tal y como se hace en algunos conteos: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII .... Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números . el antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos: Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar mas cerca del método de las marcas. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar alguna cantidades (IIIII viene e ser V) e introducen la convención de que IV denota “ uno antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X,XI..... En nuestro sistema numérico también.. Zien se representan los números naturales, como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...... Se puede argumentar y con razón, de cualquiera de los sistemas anteriores es mas razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. En el primeros dos ejemplos de la lógica es clara, en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestado al alfabeto. Los números romanos se construyen de una forma natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como V, X, L, C, D, M, etc.. los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distintos símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo aparece por completo ajeno y sin relación con el numero que presenta. La primera ventaja considerable de nuesto sistema la encontramos cuando encontramos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un numero. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica. LOS NUMEROS ENTEROS Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos ( naturales negativos). En este tipo de números aparecen los números negativos. La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.c. y siempre se les rechazo por que se pensaba que no corresponderían a la solución de los problemas prácticos. Fueron llamados absurdos por diofanto en el siglo III d.c y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso de álgebra del siglo XIV; cardano los llamo”ficticios”, y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de segundo grado, para descartes eran “raíces falsas”. Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos; estas la denunciaron de forma indirecta por que no usaban los signos + y -. LOS NUMEROS RACIONALES Un numero racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por ejemplo: 3,1/2, 29/100, 2157., cuando se escriben de forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en el honor de su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros. Por ejemplo, asociaron al 2 con el hombre. Al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. Observaron que un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la .......... Razón 3ª 2, una quinta: y la razón 4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías mas agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física- matemática. Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triangulo rectángulo cuyos cateos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación: c2= 1* +2*=2 entonces descubrieron que c no puede ser un numero racional. Esto causo una grave crisis en la filosofía griega en aquel momento. LOS NUMEROS IRRACIONALES Como ya se dijo, si; c*= 1* + 1*=2, los pitagóricos descubrieron que c no puede ser numero racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que posen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo: /2=1.41421356..., e . etcétera. Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en cursos de matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico al conjunto de todos estos números se les conoce como números reales. Actividad de aprendizaje Hasta aquí realizaste un trabajo numérico para aproximarte a la solución del problema anterior; esta método es laborioso y con el no siempre podemos obtener la solución de los problemas. Continuemos trabajando con el problema 1. el gallinero localiza los cuadros del cuadro 1.1 en el plano cartesiano representado representando la base del rectángulo en el eje x y su área en el eje y. En el mismo plano incluye los valores del cuadro 1.2. ¿son todos los puntos que se puedan graficar? ¿ por que? Traza la curva sobre los puntos que localizaste. Señala las columnas de los cuadros que se utilizaron para hacer la grafica. ¿ que representa cada punto de la grafica en el problema del gallinero? Señala con color rojo el punto de la grafica que representa la solución que hará feliz a doña Josefa. Utilizando la grafica, estima valor aproximado las coordenadas de ese punto y con ellas elabora una propuesta de solución al problema. Redáctala de manera breve, clara y sencilla. Comentario: En el problema anterior se te presentaron dos procedimientos para aproximarte a la solución del problema: el método numérico y el método grafico. Para obtener la aproximación con el método grafico necesitas hacer la grafica del problema. Para esto es importante que recuerdes los conocimientos necesarios de la geometría analítica. A propósito de esta importante rama de las matemáticas, se te ofrece una lectura complementaria del ilustre rene descartes, en la que se describe el nacimiento de la geometría analítica. Lectura complementaria rene descartes: Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo y con estas elabora un comentario y léelo con tu grupo. La geometría analítica, mucho mas que cualquiera de sus especulaciones metafísicas, inmortalizan el nombre de rene descartes y constituye el máximo paso hecho en el progreso de las ciencias exactas. JHOAN STUART MILL. Este brillante matemático nació en giras, Francia, el 31 de marzo de 1596. fue el tercer hijo de una familia noble. Se aplazo su educación formal por ser un niño débil y enfermizo. A los 8 años ingreso al colegio jesuita la fleche. Su condición enfermiza hizo que tuviera algunas concesiones en la escuela, como levantares tarde si el lo deseaba. Esta costumbre la siguió alo largo de su vida, tiempo que utilizaba para la meditación; quizás esto influyo para que siempre tratara de conocer la causa de todo lo que lo rodeaba. En este colegio conoció a mersenne; famoso aficionado a la ciencia y a la matemática, quien fue su mas antiguo compañero y llego a ser su agente científico y protector en jefe. dejo la escuela en 1612 y se dirigió a Paris. Ahí volvió a encontrarse con mersenne, con quien consagro dos años al estudio de la matemática. Posteriormente, conoció a Isaac beeckman, uno de los matemáticos mas eminentes de su época, quien reconoció al instante su genio y reavivo el interés del joven por los problemas matemáticos. Durante aquel invierno, beeckman le propuso a descartes que encontrara la ley matemática que rige la aceleración de los cuerpos que caen. Ninguno de ellos sabia que galileo había resuelto ya dicho problema su solución apareció en su obra dialogi de 1632. descartes estableció diversas soluciones. En 1649 viajo a Suecia, en donde finalmente murió, en Estocolmo, el 11 de febrero de 1650 a causa de una inflamación en los pulmones. A rene descartes se le atribuye la invención de la geometría analítica; en elle reine los métodos de álgebra y de la geometría, dando pie a un poderoso instrumento con el que se pueden resolver problemas de matemáticas y describir muchos fenómenos de la naturaleza. La geometría analítica permitió solucionar muchos problemas geométricos que los griegos no habían podido resolver e hizo posible abordar problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos, dando lugar al nacimiento de la mecánica. Descartes publico en 1637 uno de sus libros mas famosos: discurso del método para guiar la razón y encontrar la verdad de las ciencias. Incluyo como un apéndice una de las obras matemáticas mas brillantes de todos los tiempos: la geometría, en la cual expuso su nueva teoría, que fue determinante para el nacimiento del calculo diferencial e integral unos 50 años mas tarde. En la geometría analítica la herramienta básica es el plano cartesiano, en el que puedes representar puntos utilizando coordenadas rectangulares, llamadas también cartesianas en honor a su creador. El primer valor de las coordenadas se llama básica y el segundo valor es la ordenada. Actividades de aprendizaje: 2: la llantera: en un lote baldío de 50 metros por 100 metros, una compañía llantera requiere colocar la barda a un terreno rectangular de 550 metros cuadrados de superficie, dejando sin barda el lado que da al norte por que Será utilizado como entrada.´¿ que dimensiones deberá tener el terreno para que la longitud de la barda sea la mínima? ............................................................................................................................................. recomendación: anota el problema y cada uno de los incisos en tu cuaderno. Asegúrate de comprender lo que vas hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro. ............................................................................................................................................. con tu equipo lee el problema y has un croquis con la información que se proporciona. Escribe lo que se te pide encontrar. ¿ cuantos rectángulos de 550 metros cuadrados como los dos del croquis se pueden obtener? Enlista algunas de esas opciones en el cuadro 1.3. si consideras necesario, aumenta el numero de renglones. En las celdas del ultimo renglón del cuado escribe las formulas que utilizaste para calcular altura, largo de la barda y área. Con los valores del cuadro, elabora una grafica en el plano cartesiano. base Altura (m) Área cercada (m2) Largo de la barda (m) b Representada en el eje x la base del terreno a baldeada y en el eje y la longitud baldeada. Une los puntos localizados trazando una curva. Señala con color las columnas del cuadro que utilizaste para hacer la grafica. En la grafica, ¿ que representa cada punto? ¿ en que punto de la grafica se encuentra la solución de este problema? señálalo con rojo. Utilizando la grafica, estima las coordenadas de ese punto y con ellas elabora tu propuesta de solución al problema ( remárcala). Redáctala de manera breve, clara y sencilla. ¿cómo quedaría trazada una recta tangente a la curva en ese punto? Dibuja con color azul. Si tienes problemas para resolver esta actividad lee la siguiente lectura complementaria al final de este problema. A partir de este momento se te solicitara dibujar una recta tangente en el punto mas alto o mas bajo de la grafica del problema. En la siguiente unidad las problemas te plantearan el trazo de la recta tangente a la grafica de la función en un punto dado. En la secundaria y el bachillerato tecnológico has estudiado a la recta tangente en los cursos de geometría. Para mejorar las ideas que has adquirido sobre este tema a continuación se presenta una lectura. Lectura complementaria: recta tangente Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes del párrafo y con estas elabora un comentario y léelo en el grupo. La definición que estudiaste en los cursos anteriores de matemáticas de la recta tangente para curvas suaves y cerradas es: una recta p es tangente a una curva en un punto m si m es el único punto de contacto de la recta con la curva. Como lo muestra la figura 1.2, esta idea es la recta tangente se ajusta perfectamente a lo que estudiaste en los cursos de geometría de la secundaria y el bachillerato. Debes entender la insuficiencia de tal definición para curvas no cerradas. La figura 1.3 ayuda a que lo comprendas. Considerando la primer definición podemos concluir que en la figura 1.3 la grafica de la izquierda muestra una recta tangente a la curva en el punto m y la grafica de la derecha muestra una recta que no es tangente a la curva en el punto m . ambas afirmaciones son incorrectas. La siguiente es la versión mejorada de la anterior definición: una recta p es tangente a una curva en el punto m si la recta p toca a la curva en el punto m, pero no la toca en ningún otro punto “ cercano” a m. Aunque la definición es un poco mas precisa, aun no es todo correcta; averigua por que. ( en la siguiente unidad mejoremos esta definición). ¿ tu, tu equipo y el grupo pudieron resolver los problemas anteriores? Si es así, ¡ felicidades! Enseguida se incluye un problema resuelto con el objetivo de que lo revisen en clase y reafirmen algunas cuestiones que trabajamos hasta aquí. Actividades de aprendizaje 3 la jaula del zoológico: se desea construir una jaula rectangular para encerrar a un león. Para ello solo se cercaran tres lados, ya que se utilizara la barda poniente del zoológico como cuarto lado. Si el material disponible para el cerco son 30 metros lineales, halla las dimensiones de la jaula rectangular que tenga la mayor área posible.

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