El dinero es importante en la vida del hombre y su utilización debe ser de manera óptima y adecuada; y con la globalización de la economía ha adquirido una






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MATEMÁTICA FINANCIERA
PRESENTACION

El dinero es importante en la vida del hombre y su utilización debe ser de manera óptima y adecuada; y con la globalización de la economía ha adquirido una trascendental relevancia, ya que todas las transacciones se realiza a través del uso del dinero, por eso es necesario que se sepa operar para que genere los máximos beneficios y se aproveche a su máxima utilidad; por lo que es importante comprender de manera clara cómo el dinero puede ganar o perder o cambiar de valor en el tiempo, debido a fenómenos económicos como la inflación y devaluación, por lo cual es relevante usar y empleo con claridad y precisión los conceptos de las matemáticas financieras.

Además, es importante el manejo de las matemáticas financieras ya que la economía de un país, se basa en diferentes operaciones financieras y que para tomar una decisión acertada, es necesario e indispensable tener en cuenta que a través del tiempo el valor del dinero puede tener variaciones.

Se ha tratado de exponer cada una de las unidades de una manera clara y sencilla y usando un lenguaje simple para que el alumno encuentre interesante el campo de las matemáticas financieras; pero es conveniente aclarar que esta disciplina, como todas las que tienen que ver con las matemáticas, exigen un trabajo práctico dedicado, por lo que se recomienda realizar los ejercicios resueltos y propuestos.

EL módulo contiene suficientes ejemplos resueltos paso a paso que le proporciona al alumno la destreza necesaria para resolver los ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas, los cuales servirán para afianzar los conocimientos adquiridos a través de los capítulos.


Matemáticas Financieras.

Capitulo I

1.1 Introduccion

Las matemáticas financieras son fundamentales para tomar la mejor decisión, cuando se invierte dinero en proyectos o en inversiones, por eso es conveniente que el alumno defina y explique los conceptos básicos sobre proyectos y las diferentes inversiones que se pueden llevar a cabo en la vida cotidiana y empresarial. También, es importante, que se conozca la importancia del concepto del valor del dinero a través del tiempo, como elemento fundamental de las matemáticas financieras, así como del principio de equivalencia y el principio de visión económica, que se aplican en el diagrama económico, para efecto de trasladar los flujos de caja al presente o al futuro.
1.2 IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS.

Las organizaciones y la personas toman decisiones diariamente que afectan su futuro económico, por lo cual, deben analizar técnicamente los factores económicos y no económicos, así como también los factores tangibles e intangibles, inmersos en cada una de las decisiones que se toman para invertir el dinero en las diferentes opciones que se puedan presentar, de allí, la importancia de las técnicas y modelos de la matemáticas financieras en la toma de las decisiones, ya que cada una de ellas afectará lo que se realizará en un tiempo futuro, por eso, las cantidades usadas en la matemáticas financieras son las mejores predicciones de lo que se espera que suceda.

No hay que olvidar que en todo proceso de toma de decisión siempre aparece el interrogante de tipo económico, debido a lo que espera toda organización o persona es la optimización de los recursos con que se cuenta.

Cuando se busca la solución que optimice los recursos con que se cuentan

generalmente hay que abordar las siguientes preguntas claves:

¿Se justifica la realización del proyecto o la inversión?

¿Se puede usar la actual infraestructura de producción para alcanzar el nuevo nivel de producción?

¿El tiempo estipulado para la realización del proyecto es el adecuado?

¿Es recomendable o favorable la inversión económica o socialmente?

¿Cuál de las alternativas planteadas es la mejor para la organización o inversionistas?.

Las respuestas a las preguntas señaladas ayudan a la organización o inversionista a

eliminar proyectos que no son factibles de realizar por no contar con los recursos

necesarios.

De allí, la importancia de desarrollar todo el proceso de toma de decisiones para plantear soluciones o alternativas para el problema que se está enfrentando.

Lo expuesto anteriormente, muestra la dimensión e importancia de las MATEMATICAS FINANCIERAS como herramienta de análisis y evaluación en el proceso de toma de decisiones.

1.3 DEFINICIONES DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS

Las matemáticas financieras pueden tener varias definiciones, pero todas presentan el mismo objetivo final.

“Estudia el conjunto de conceptos y técnicas cuantitativas de análisis útiles para la evaluación y comparación económica de las diferentes alternativas que un inversionista, o una organización pueden llevar a cabo y que normalmente están relacionadas con proyectos o inversiones en: sistemas, productos, servicios, recursos, inversiones, equipos, etc., para tomar decisiones que permitan seleccionar la mejor o las mejores posibilidades entre las que se tienen en consideración”.

“Es una herramienta de trabajo que permite el análisis de diferentes alternativas planteadas para la solución de un mismo problema”.

“Es el estudio de todas las formas posibles para desarrollar nuevos productos (o resolver un problema), que ejecutarán funciones necesarias y definidas a un costo

mínimo”.

“Es un conjunto de conceptos y técnicas de análisis, útiles para la comparación y evaluación económica de alternativas”.

En general el objetivo básico de las matemáticas financieras es seleccionar la alternativa más conveniente desde el punto de vista económico.

1.4 DEFINICIONES DE PROYECTO

Existen varias definiciones al término proyectos, entre las cuales se pueden enumerar las siguientes:

Las Naciones Unidas, en su Manual de Proyectos de Desarrollo Económico, expresa:

“Un proyecto es el conjunto de antecedentes que permite estimar las ventajas y desventajas económicas que se derivan de asignar ciertos recursos de un país para la producción de determinados bienes o servicios”

La definición indica que si los resultados económicos esperados son favorables el proyecto debe llevarse hasta finalizarlo, dando especial consideración a las diferentes etapas que lo conforman.

El Banco Mundial define proyecto de la siguiente manera:

“El proyecto es, en un caso ideal, una serie óptima de actividades orientadas hacia la inversión fundadas en una planificación sectorial completa y coherente, mediante la cual se espera que un conjunto específico de recursos humanos y materiales produzca un grado determinado de desarrollo económico y social”.

El Instituto Latinoamericano y del Caribe de Planificación Económica y Social, Ilpes, en su documento Guía para la presentación de proyectos proporciona la siguiente definición:

“En su significado básico, el proyecto es el plan prospectivo de una unidad de acción capaz de materializar algún aspecto del desarrollo económico o social.

Esto implica, desde el punto de vista económico. Proponer la producción de algún bien o la prestación de algún servicio, con el empleo de una cierta técnica y con miras a obtener u determinado resultado o ventaja, económico o social.

Como plan de acción, el proyecto supone también la indicación de los medios necesarios para su realización y la adecuación de esos medios a los resultados que se persiguen. El análisis de estas cuestiones se hace en los proyectos no sólo del punto de vista económico sino también técnico y financiero, administrativo e institucional”.

En la forma más simple un proyecto se puede definir como la búsqueda de una solución inteligente al planteamiento de un problema para resolver, entre muchas, una necesidad humana.

Un proyecto de inversión es un plan, que si se le asigna determinado monto de capital y se le proporciona insumos de diferentes tipos, podrá producir un bien o un servicio, útil al ser humano o a la sociedad en general.

1.5 INVERSIONES

Las inversiones son la asignación de recursos en los diferentes departamentos de una organización, con las cuales se logran los objetivos trazados en cada uno de ellos.

Las inversiones deben ser evaluadas cuidadosamente a fin de determinar su aceptación o rechazo y establecer su grado de prioridad dentro de los planes estratégicos de la empresa. Los errores cometidos en las decisiones de inversión no sólo tienen consecuencias negativas en los resultados de las operaciones, sino que también impactan las estrategias de la empresa. Las inversiones pueden clasificarse de acuerdo con varios criterios y desde diferentes puntos de vista. En este módulo en primera instancia, se clasificaran por el tipo de función que desempeñan dentro de la empresa:

a) Inversiones de renovación: Se realizan cuando se van a sustituir equipos, instalaciones o edificaciones obsoletas o desgastadas físicamente por nuevos elementos productivos. Se invierte en renovar las operaciones existentes.

b) Inversiones de modernización: Comprenden todas las inversiones que se efectúan para mejorar la eficiencia de la empresa tanto en la fase productiva como en la comercialización de los productos. Se invierte para mejorar la eficiencia operacional.

c) Inversiones de expansión: Son las inversiones que se realizan para satisfacer una demanda creciente de los productos de la empresa.

d) Inversiones estratégicas: Son las que afectan la esencia misma de la empresa, ya que tomadas en conjunto definen el sistema de actividades de la misma.

Estas inversiones se derivan del análisis de la estrategia de la empresa y su impacto en el sistema de actividades es contundente.

Los casos más típicos son las inversiones para diversificación, la cobertura de nuevos mercados, las inversiones asociadas con nuevos desarrollos tecnológicos y las derivadas de las decisiones de integración vertical u horizontal en la empresa.

Atendiendo a la relación de dependencia o independencia económica de las inversiones, éstas se pueden clasificar en mutuamente excluyentes, independientes y complementarias.

a) Mutuamente excluyentes: Cuando por su naturaleza solo se puede ejecutar una de ellas, pues sería redundante o contraría la política de la organización, hay que tener en cuenta, que las inversiones mutuamente excluyentes están vinculadas a la solución de un mismo problema, por eso, hay que seleccionar la mejor de todas.

b) Inversiones Independientes: Son aquellas que no guardan relación o dependencia

económica entre sí, por tal motivo, la realización de una de ellas no impide la ejecución de otra u otras inversiones. La única limitante para la organización, es la disponibilidad de los recursos para cada una de las inversiones.

El proceso decisorio se orienta a identificar una combinación de inversiones, factibles de ejecutar en función de la disponibilidad de recursos, que es la que genera los mejores resultados.

c) Inversiones Complementarias: Son las inversiones que tienen un alto grado de dependencia económica entre sí, que en algunos de los casos al realizarse simultáneamente, interactúan reforzando o atenuando las características de ellas.

Esto da como resultado que, en algunas combinaciones se presente el fenómeno de sinergismo y que en tal sentido, haya que determinar el efecto sinergético de la combinación. El proceso decisorio está orientado a identificar una mezcla de combinaciones o alternativas individuales, factibles de realizar en función de la disponibilidad de recursos, y que es la que produce los mejores resultados.

Las inversiones también, se clasifican en función del sector de la economía en que se ejecutan, por lo tanto, habrán inversiones en empresas del sector privado y en el sector público.

a) Inversiones en el sector privado: Son inversiones preparados y ejecutados por personas naturales y jurídicas, con recursos privados y de crédito, se deben aceptar cuando se esperan incrementos en los beneficios de las empresas (crean valor) y por consiguiente se espera que aumente el patrimonio de los accionistas. No obstante, en algunas ocasiones hay inversiones de carácter estratégico que no generan los rendimientos mínimos exigidos por la empresa, pero que se aceptan por completar el sistema de actividades escogido por la estrategia de la empresa.

b) Inversiones en el sector público: Son inversiones desarrolladas por entidades del gobierno y con presupuestos de inversión pública. Generalmente apuntan al mejoramiento de la salud, la educación, la vivienda, el transporte, la seguridad, etc.

Estas inversiones se realizan con base en los planes y programas de desarrollo económico y social que se preparan en los diferentes niveles de la administración pública

En las inversiones del sector público se deben valor aspectos cuantitativos y cualitativos de beneficio económico y social, y su objetivo primordial es aumentar el bienestar social.

1.6 PROCESO DE TOMA DE DECISIONES

La toma de decisiones es la selección de un curso de acción entre varias alternativas planteadas en una organización y el núcleo de la planeación, también, es una actividad cotidiana en las organizaciones, cada problema o situación se tiene que resolver, por lo cual surgirá la necesidad de tomar una decisión. Por lo tanto, es recomendable disponer de un procedimiento sistémico para la solución de los problemas, que se puede señalar de la siguiente manera:

1) Definir el problema: Se trata de identificar en forma clara el problema y realizar su formulación de manera concreta y precisa, definiendo los objetivos buscados. La importancia de éste punto es vital en el proceso de toma de decisiones, y es recomendable dedicarle todo el tiempo que se necesite, para lograr una clara y adecuada definición del problema, porque de lo contrario se corre el riesgo de dar solución a un problema inexistente. Debe quedar claro que los problemas en la vida cotidiana o real, están enunciados de manera muy general, por lo cual, es indispensable identificarlos y definirlos exactamente, en relación con sus objetivos como en los métodos de análisis que se seguirán.

La importancia de definir con claridad y precisión el problema radica en el hecho conocido de que es preferible no resolver el problema, antes que resolver el problema que no es, por eso, se dice que la definición del problema es la parte más crítica de todo proceso de toma de decisiones, debido a que una equivocada identificación traerá como consecuencia la toma de una decisión igualmente errada.

De una premisa equivocada siempre la conclusión será equivocada.

La importancia del proceso de identificación del problema, se traduce en el pensamiento de Albert Einstein: “Si se me concediese sólo una hora para resolver un problema del que dependiese mí propia vida, yo dedicaría 40 minutos a estudiarlo, 15 minutos a revisarlo y 5 minutos a solucionarlo”.

En este sentido, se recomienda agotar los mejores esfuerzos y recursos de la organización en la identificación de la problemática. Deben realizarse reuniones, tormentas de ideas y trabajos de grupo para la consecución de una visión clara y precisa de la situación que se deberá enfrentar.

2) Analizar el problema: Una vez se haya definido en forma concreta el problema, se procede a discriminar todos los hechos que lo han originado o tienen relación con él.

Es indispensable que dentro del análisis, se realice una reseña de las decisiones tomadas en el pasado, en relación con el problema definido; porque muchas veces el problema surgido, tiene que ver con las decisiones que se han tomado con anterioridad en el tiempo. También, es conveniente y necesario analizar las restricciones que se presentan al momento de dar solución a los problemas, y ellas pueden ser reales y ficticias.

Las restricciones reales son las que verdaderamente existen al momento de formular el problema, pueden ser: tecnológicas, de recursos, de tiempo, sociopolíticas, de seguridad, administrativas, etc. Estas restricciones, son necesarias tenerlas en cuenta al momento de seleccionar la solución al problema.

Las restricciones ficticias son las que no están o no existen contenidas en el problema que se ha definido; generalmente surgen de manera inconscientemente por el criterio de la persona que está realizando el análisis, y pueden ser: hábitos, temores, inhibiciones, timidez. Hay que tener en cuenta, que hay personas que se restringen ficticiamente más que otras, afectando en forma negativa la creatividad y dificultad la solución de los problemas o los convierte en imposibles de solucionarlos.

3) Generación de alternativas de soluciones: Una vez que el problema se ha definido y analizado, se debe proceder a generar posibles soluciones y/o alternativas para ser aplicadas. Un brainstorning (tormenta de ideas) , es un buen comienzo para la generación de soluciones. En el proceso de generación de soluciones, se recomienda reunir todas aquellas personas que tengan que ver o conozcan el problema e inducirlas al planteamiento de soluciones, no sin antes tener en cuenta los siguientes elementos:

a) Evitar resaltar las diferencias jerárquicas de los asistentes.

b) Buscar la participación del directivo más importante hasta el obrero más humilde

de la organización.

c) No subestimar ninguna solución sugerida.

d) No permitir burlas a las soluciones planteadas.

e) No hacer comentarios negativos sobre las soluciones sugeridas.

f) Motivar e inducir permanentemente a las personas para que sugieran soluciones.

En caso que la decisión competa a una sola persona y ésta no tenga los medios para consultar con otros, es indispensable que se presenten distintas alternativas para que cada una sea evaluada individualmente.

4) Evaluación de alternativas: El proceso de generación de alternativas de soluciones tendría poca importancia si las mismas no son analizadas y comparadas entre sí, de manera tal que se pueda determinar cuál es la más conveniente.

Mediante la evaluación de las alternativas se conocerá, cuál de ellas es la más rentable, cuál tendrá más posibilidad de realización, cuál apoyará los intereses generales de la compañía, así como también cuál de las posibles soluciones será más acorde con la visión y misión de la organización. Igualmente se considerarán las estrategias de la organización a corto, mediano y largo plazo.

Cuando se estima la conveniencia de una solución debe tomarse en cuenta la rentabilidad que produce, asociada al riesgo que conlleva. Adicionalmente, debe considerarse que el beneficio económico a corto plazo puede quedar relegado en aras de una estrategia superior de la empresa.

Es necesario que una vez se seleccione la alternativa que dará solución al problema, se le comunique a las personas de la organización encargadas de dar la aprobación final. De la presentación de la solución depende que se lleve a la práctica, por ello es importante estar seguros de los beneficios de dicha solución y llevar a cabo la sustentación con seguridad, demostrando clara y concretamente cuales son las ventajas de la solución propuesta. Es conveniente presentar soluciones a corto, mediano y largo plazo.

5) Implementar la solución: La selección de la decisión no hace finalizar el proceso de toma de decisiones; por el contrario, una vez seleccionada la alternativa, se debe buscar su implementación, teniendo en factores tales como tiempo, recursos humanos, tecnológicos, financieros, etc. También es de suma importancia considerar la capacidad de entendimiento de la decisión por parte de la persona responsable de ejecutarle, así como su grado de compromiso.

En muchas ocasiones una determinada decisión pasará por diferentes áreas de la organización y probablemente el compromiso no sea el mismo en cada una de ellas. Por otro lado, es probable que el entendimiento de la decisión no sea compartido por igual, por lo cual se deberán tomar en cuenta estas consideraciones al momento de implementar la decisión.

Implementar una decisión exige en muchos casos todo un proceso de planificación y de distribución de recursos que garanticen su éxito. Una decisión podría fracasar por no contar con los recursos adecuados o con el compromiso y entendimiento de los miembros de la organización.

6) Evaluar los resultados de la decisión: A través de un análisis de los resultados obtenidos por la puesta en práctica de una decisión tomada, se podrán tomar medidas para asegurar la optimización de los resultados. Es así como mediante la evaluación de éstos se pueden tomar las acciones necesarias para corregir cualquier desviación en los resultados inicialmente planificados. Adicionalmente, se puede descubrir la necesidad de incluir nuevos recursos en el proceso: humanos, financiero o de otra clase. También, se puede llegar a la conclusión de que la decisión tomada no fue la correcta y así adoptar las medidas necesarias para enmendar esa equivocación.

1.7 ASPECTOS BASICOS DE UN ANALISIS DE INVERSIONES.

Para la correcta realización de un estudio de las matemáticas financieras, se requieren

básicamente analizar las siguientes etapas:

a) Análisis técnico

b) Análisis económico

c) Análisis financiero

d) Análisis de intangibles

e) Análisis del mercado

f) Análisis Administrativo

g) Análisis Social

h) Análisis sensorial

Análisis técnico: Se refiere a la factibilidad operacional del proyecto o alternativa, es decir, se define la viabilidad técnica del proyecto. En este análisis, se definirá las especificaciones técnicas de los insumos necesarios para ejecutar el proyecto en relación con: tipo y cantidad de materia prima e insumos, nivel de calificación del recurso humano requerido, la maquinaria y los equipos necesarios para el proyecto y un programa de las inversiones iníciales y de reposición, así como también, los calendarios de mantenimiento.

Análisis económico: Se refiere a la factibilidad económica de la alternativa o proyecto (Si es rentable o no). Es importante, pues es la que al final permite decidir la implantación del proyecto.

Análisis financiero: Se refiere a la disponibilidad y origen de los fondos necesarios para realizar el proyecto. En otras palabras, se refiere a la identificación de las fuentes de financiación del proyecto internas y externas, permite adicionalmente establecer criterios para el manejo de excedentes e identificar las necesidades de liquidez, para construir y negociar el plan de financiamiento del proyecto.

Análisis de intangibles: Se refiere a considerar los efectos no cuantificables de un proyecto: Aspectos como: imagen corporativa, opinión pública, nombre, factores ecológicos y ambientales, leyes cambiantes, situación política, etc. El estudio de las leyes, debe llevarse a cabo en las etapas iníciales de la formulación y preparación, ya que un proyecto supremamente rentable, puede resultar no factible por una norma legal. En análisis de los factores ecológicos y ambientales, es necesario determinar el impacto del proyecto sobre el medio ambiente en el corto, mediano y largo plazo y el efecto del entorno sobre el proyecto.

Análisis del mercado: En el cual se determinan ventas y clientes potenciales para los bienes y servicios que van a producirse. Además, de estudiar la demanda, es necesario tener en cuenta la oferta y precios, tanto de los productos como de los insumos de un proyecto. En la demanda de los productos, se analiza el volumen presente y futuro y las variables relevantes para su proyección como: población objetivo o segmento de mercado, niveles de ingresos esperados, productos complementarios y sustitutos que ya estén o que en el futuro entraran al mercado. Es importante tener en cuenta el mercado local, regional, nacional y el internacional.

Análisis Administrativo: Es un diseño que muestra la estructura organizacional y define la necesidades de personal del proyecto, además; genera la información sobre las necesidades de infraestructura para el normal desarrollo de las actividades de las diferentes áreas que conforman el proyecto como son: planeación, personal, finanzas, cobranzas, etc. En este análisis, también se señala los equipos y dotación de insumos requeridos para el adecuado funcionamiento administrativo.

Análisis Social: Determina la incidencia que el proyecto tiene en la comunidad y la manera de evitar las incidencias negativas del proyecto. En concreto el análisis está dirigido a identificar y caracterizar con precisión los diferentes grupos de la población implicados por el proyecto, desde el punto de vista de los beneficios y los costos.

Análisis Sensorial: Trata de fijar la posición personal del empresario en aspectos legales, éticos, morales y de gusto personal, con relación a la actividad en sí misma o a las condiciones que el proyecto exige.

1.8 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

El dinero, como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco, es decir, su uso no es gratuito, hay que pagar para usarlo.

El dinero cambia de valor con el tiempo por el fenómeno de la inflación y por el proceso de devaluación.

El concepto del valor del dinero dio origen al interés. Además, el concepto del valor del dinero en el tiempo, significa que sumas iguales de dinero no tendrán el mismo valor si se encuentran ubicadas en diferentes tiempos, siempre y cuando la tasa de interés que las afecta sea diferente a cero.

La inflación es el fenómeno económico que hace que el dinero todos los días pierda poder adquisitivo o que se desvalorice.

Por ejemplo, dentro de un año se recibirá los mismo S/. 1.000 pero con un poder de compra menor de bienes y servicios.

Desde un punto de vista más sencillo, con los S/. 1.000 que se recibirá dentro de un año se

adquirirá una cantidad menor de bienes y servicios que la que se puede comprar hoy, porque la inflación le ha quitado poder de compra al dinero.

1.9 INTERES

Cuando una persona utiliza un bien que no es de su propiedad; generalmente deba pagar un dinero por el uso de ese bien; por ejemplo se paga un alquiler al habitar un apartamento o vivienda que no es de nuestra propiedad.

De la misma manera cuando se pide prestado dinero se paga una renta por la utilización de eses dinero; en este caso la renta recibe el nombre de interés o intereses.

En otras palabras se podría definir el interés, como la renta o los réditos que hay que pagar por el uso del dinero prestado.

También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero, el interés tiene como símbolo I.

En concreto, el interés se puede mirar desde dos puntos de vista:

Como costo de capital: cuando se refiere al interés que se paga por el uso del dinero prestado.

Como rentabilidad o tasa de retorno: cuando se refiere al interés obtenido en una inversión.

Usualmente el interés se mide por el incremento entre la suma original invertida o tomada en préstamo (P) y el monto o valor final acumulado o pagado.

De lo anterior se desprende que si hacemos un préstamo o una inversión de un capital de S/. P, después de un tiempo n se tendría una cantidad acumulada de S/. S, entonces se puede representar el interés pagado u obtenido, mediante la expresión siguiente:

I = S – P

Pero también: I = Pin

Analizando la anterior fórmula, se establece que el interés es una función directa de

tres variables: El capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n). Entre mayor sea

alguno de los tres, mayor serán los intereses.

Las razones a la existencia del interés se deben a:

El dueño del dinero (prestamista) al cederlo se descapitaliza perdiendo la oportunidad de realizar otras inversiones atractivas.

b) Cuando se presta el dinero se corre el riesgo de no recuperarlo o perderlo, por lo tanto, el riesgo se toma si existe una compensación atractiva.

c) El dinero está sujeto a procesos inflacionarios y devaluatorios en cualquier economía, implicando pérdida en el poder adquisitivo de compra.

d) Quien recibe el dinero en préstamo (prestatario) normalmente obtiene beneficios, por lo cual, es lógico que el propietario del dinero, participe de esas utilidades.

Existen dos tipos de interés, simple y compuesto, los cuales se estudiarán

posteriormente.

Ejemplo

Se depositan en una institución financiera la suma de S/.1.200.000 al cabo de 8 meses se tiene un acumulado de S/. 200.000, calcular el valor de los intereses.

I= S - P= 1.400.000 - 1.200.000 = S/. 200.000

La variación del dinero en S/. 200.000 en los 8 meses, se llama valor del dinero en el tiempo y su medida, son los intereses producidos.

1.10 TASA DE INTERES

La tasa de interés mide el valor de los intereses en porcentaje para un período de tiempo determinado. Es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades monetarias (S/. 100) que se invierten o se toman en calidad de préstamo, por ejemplo, se dice.: 18% anual, 9% semestral, 4.5 % trimestral, 1.5% mensual.

Cuando se fija el 18% anual, significa que por cada cien nuevos soles que se inviertan o se

prestan se generaran de intereses S/. 18 cada año, si la tasa de interés es 9% semestral,

entones por cada cien nuevos soles se recibirán o se pagaran S/. 9.00 cada seis meses, si la tasa es 4.5% trimestral se recibirán o se pagaran S/. 4.50 de manera trimestral, y si la tasa es del 1.5% mensual, se recibirán o se pagaran S/. 1.50 cada mes.

La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación, las políticas del gobierno, etc. Es un indicador muy importante en la economía de un país, porque le coloca valor al dinero en el tiempo.

La tasa de interés siempre se presenta en forma porcentual, pero cuando se usa en cualquier ecuación matemática se hace necesario convertirla en número decimal, por ejemplo: 0,03, 0,15 y 0,25

La unidad de tiempo generalmente usada para expresar las tasas de interés es el año.

Sin embargo, las tasas de interés se expresan también en unidades de tiempo menores de un año. Si a la tasa de interés, no se le especifica la unidad de tiempo, se supone que se trata de una tasa anual.

Ejemplo:

Una entidad le presta a una persona la suma de S/. 2.000.000 y al cabo de un mes paga S/. 2.050.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés pagada.

I= S - P = 2.050.000 - 2.000.000 = S/.50.000

Entonces aplicando la formula tenemos:

I 50.000

i = --- = -------------- = 0.025, = 2.5% mensual

P 2.000.000


1.11 EQUIVALENCIA.

El concepto de equivalencia juega un papel importante en las matemáticas financieras, ya que en la totalidad de los problemas financieros, lo que se busca es la equivalencia financiera o equilibrio los ingresos y egresos, cuando éstos se dan en períodos diferentes de tiempo.

El problema fundamental, se traduce en la realización de comparaciones significativas y valederas entre varias alternativas de inversión, con recursos económicos diferentes distribuidos en distintos períodos, y es necesario reducirlas a una misma ubicación en el tiempo, lo cual sólo se puede realizar correctamente con el buen uso del concepto de equivalencia, proveniente del valor del dinero en el tiempo.

El proceso de reducción a una misma ubicación en el tiempo, se denomina transformación del dinero en el tiempo.

Además, la conjugación del valor de dinero en el tiempo y la tasa de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia, el cual, significa que diferentes sumas de dinero en tiempos diferentes pueden tener igual valor económico, es decir, el mismo valor adquisitivo.

Ejemplo

Si la tasa de interés es del 15%, S/. 1.000 hoy es equivalente a S/. 1.150 dentro de un año, o a S/. 869,56 un año antes (1000/1.15).

El concepto de equivalencia, también se puede definir, como el proceso mediante el cual los dineros ubicados en diferentes periodos se trasladan a una fecha o periodo común para poder compararlos.

Partiendo de la base que el dinero tiene valor en el tiempo, por consiguiente, es indispensable analizar la modalidad de interés aplicable y la ubicación de los flujos de caja en el tiempo, por lo tanto, sin importar que existen múltiples desarrollos referente a la ubicación, en este libro se tendrá en cuenta la ubicación puntual, la cual considera el dinero ubicado en posiciones de tiempo especifica; tiene dos modalidades:

Convención de fin periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos) como ocurridos al final del periodo. Por ejemplo: Si durante el año 2010, se obtuvieron S/. 1.500 millones de ingresos y el periodo analizado es enero 1 de 2010 a diciembre 31de 2010, entonces, los ingresos se considerarían obtenidos el 31 de diciembre de 2007.

Convención de inicio de periodo: valora los flujos de caja (ingresos y/o egresos) como ocurridos al principio del periodo. En el ejemplo anterior los S/. 1.500 millones de

ingresos se considerarían obtenidos el 1 de enero de 2010.

1.12 DIAGRAMA DE TIEMPO O FLUJO DE CAJA

El diagrama de tiempo, también es conocido con los nombres de diagrama económico o diagrama de flujo de caja.

Es una de las herramientas más útiles para la definición, interpretación y análisis de los problemas financieros.

Un diagrama de tiempo, es un eje horizontal que permite visualizar el comportamiento del dinero a medida que transcurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se colocan flechas que representan las cantidades monetarias, que se han recibido o desembolsado

(FLUJO DE FONDOS O DE EFECTIVO). Por convención los ingresos se representan

con flechas hacia arriba ( ) y los egresos con flechas hacia abajo ( ).

Al diagrama económico o de tiempo, hay que indicarle la tasa de interés (efectiva o periódica) que afecta los flujos de caja, la cual; debe ser concordante u homogénea con los periodos de tiempo que se están manejando, es decir; si los periodos de tiempos son mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, si los periodos de tiempos son trimestrales, la tasa de interés que se maneja debe ser trimestral; si los periodos de tiempos son semestrales, la tasa de interés debe ser semestrales, y así sucesivamente.

Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el hoy (ubicado en el cero del diagrama), y allí se encontrará el presente del diagrama (PD), mientras que en el fin, se ubicará el futuro del diagrama económico (SD) y la terminación de la obligación financiera. Hay que tener en cuenta, que un diagrama económico, contempla presentes y futuros intermedios, es decir, un periodo de tiempo puede ser el presente de uno o varios flujos de caja, o un periodo de tiempo podrá ser un futuro de uno o varios flujos de caja, todo depende entonces de la ubicación del periodo de tiempo versus la ubicación de los flujos de caja.

Es importante anotar que en las matemáticas financieras: Sólo se permiten sumar, restar o comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los mismos periodos del diagrama económico.

SD( Mañana)













1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

PD (Hoy)
El diagrama de tiempo que se construya para un prestamista será inverso al que se construya para el prestatario.
Ejemplo:

Una persona recibe un préstamo el 1 de enero de 2010 de S/. 20. 000 y cancela el 31

de diciembre del mismo año la suma de S/. 25 000. Construir el diagrama económico.


  1. Diagrama económico – prestamista

S/. 25.000

Enero 1/2010 Diciembre 31/2010
S/. 20.000

b) Diagrama económico – prestatario

S/. 20.000

Enero 1/2010 Diciembre 31/2010
S/. 25.000

Consideraciones

1) El momento en que el prestamista entrega el dinero, y el prestatario lo recibe se conoce con el nombre de presente o momento cero.

2) El valor entregado inicialmente se denomina valor presente o simplemente P.

3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera (n)

4) La suma entregada al final recibe el nombre de valor futuro o simplemente S.

Cuando una persona ahorra o deposita dinero en una institución financiera que reconoce una tasa de interés, la relación entre las partes se asimila al escenario prestamista – prestatario. Para este caso, el ahorrador o depositante asume el papel de prestamista y la institución financiera será el prestatario.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Una inversión realizada hoy por S/. 1.200.000 genera al final de un año la suma de S/. 1.536.000. Se pide:

a) La suma ganada por intereses.

b) La tasa de interés de la operación financiera.

2) Cuánto se debe invertir hoy para tener de un semestre la suma de S/. 8.500.000 y se ganen unos intereses de S/. 480.000. Cuál es la tasa de interés.

3) Calcular el valor de los intereses generado por una inversión hoy de S/. 10.000.000 a las siguientes tasas:

a) 1.2% quincenal.

b) 2,5% mensual.

c) 7% trimestral.

d) 10% cuatrimestral.

e) 15% semestral.

4) Si usted invirtió S/. 1.500.000 durante un año, al final del cual le entregaron S/. 2.000.000. Cuál fue su porcentaje de rentabilidad?.

5) A usted le concedieron un préstamo por la suma de S/. 5.000.000 durante un trimestre, al final del cual debe pagar S/. 5.600.000. Cuál fue el costo del crédito?.

6) Una persona adquiere un edificio por la suma de S/. 1.800.000 y lo cancela de la siguiente manera: 20% de cuota inicial y el resto en 4 cuotas trimestrales iguales de S/. 420.000. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se puede decir que se pagó por el edificio la suma de $ 2.040.000, si se cobra una tasa de interés del 6,5% trimestral?.

7) Una empresa por valor de S/. 60.000.000 se adquiere a crédito, y se desea cancelar en un año con cuotas bimestrales iguales de S/. 11.000.000. Construya el diagrama económico desde el punto de vista del comprador y del vendedor.

8) Se recibe un préstamo en una institución bancaria por valor de S/. 25.000.000 para cancelar dentro de dos años, a una tasa de 10% cuatrimestral anticipada. Construya el diagrama económico.

9) Una computadora cuesta $ 3.250 de contado. Un estudiante está de acuerdo de dar una cuota inicial del 25% del precio de contado y el resto a 90 días, con un recargo del 15% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual paga el estudiante?.

10) Luis consigue un préstamo por la suma de S/. 7.500 a dos años y medio de plazo y una tasa de interés simple de 2,6% mensual. ¿Cuánto pagará por concepto de intereses?¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido?.


INTERÉS SIMPLE

El interés es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe original que lo produjo

El interés es el importe que se cobra al final de cada período señala




I
CAPITAL CAPITAL

INICIAL FINAL

C



LAPSO DE TIEMPO


El precio que se paga por un capital depende de los siguientes factores:

1. Del beneficio económico o social a obtener con la utilización de dicho capital.

2. Del tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés.

3. De la seguridad sobre él buen fin de la inversión, y del respaldo de la persona que solicita el crédito, a mayor riesgo mayor tasa de interés y viceversa.

4. De la situación del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta presionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellos demandantes de capital que presenten un menor riesgo potencial.

5. De otras variables de carácter económico, político, social, etc.

I = función (capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.)

El Interés: Es la cantidad que paga por el uso de dinero ajeno

EL capital: Puede estar dado en moneda nacional o moneda extranjera.

La tasa: de interés simple se suele expresar en tanto por ciento (%) y trabajar en las fórmulas financieras en tanto por uno.

El Tanto por uno: Es el rendimiento que produce una unidad de moneda

El Monto: Es la suma del capital mas los intereses ganados

El tiempo: Está referido al plazo total de la operación.

El riesgo: Es la medida de la incertidumbre de que el deudor honre al acreedor su compromiso al vencimiento del plazo pactado, el precio del riesgo se incluye en el costo del dinero.

1. Cálculo del interés simple

En una operación de interés simple el capital que genera los intereses permanece constante durante el tiempo de vigencia de la transacción.

Simbología

I = Interés

P = Principal, capital o stock inicial de efectivo, valor presente.

S = Monto, capital o stock final de efectivo, valor futuro.,

n = Número de períodos de tiempo (días, meses, trimestres, semestres, etc).

i = Tasa de interés simple por unidad de tiempo, expresado en tanto por uno.

Fórmula general I = P( i n ) (1)

Ejemplo: para calcular el interés simple consideremos un préstamo de S/. 10 000 cobrando una tasa de interés simple del 21% anual.

1. En el primer año el interés generado por el capital será:

I = 10 000 x 0,21 x 1= 2 100

2. Al final del segundo año el total de intereses generado por el capital inicial será.

I = 10 000 x 0,21 x 2 = 4 200: Por lo tanto:

Al final del n   ésimo año el total de intereses generado por el capital inicial será :

Interés = 10 000 x 0,21 x n

De la fórmula (1) deducimos:

I


P = ( 2)

i n

I


i = (3)

P n




I


n = ( 4 )

P i
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

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