Solución : Es muy importante el dato de que todos los hermanos tienen la misma cantidad de billetes; sin embargo, no se conoce cuántos billetes son, por ello le asignamos “x”, pudiendo expresar la cantidad de dinero de cada hermano






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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ PRONAFCAP

UNIDAD 3 algebra y funciones

LECTURA 8: ECUACIONES LINEALES
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Las pirámides de Caral son las más antiguas encontradas hasta la fecha en los Andes: datan de hace 5000 años (3000 a.C. aproximadamente). La pirámide en los andes es un edificio de grandes proporciones usado por los curacas (gobernantes) como el centro de sus actividades, ya sean religiosas, políticas o económicas. Era el símbolo y centro del poder. Allí se realizaron las ceremonias que garantizarían el orden establecido en fechas señaladas por un calendario ceremonial que emulaba el ritmo de la naturaleza.

Esta antigua ciudad de pirámides fue levantada en la margen izquierda del río Supe sobre una gran terraza que está a 350 metros sobre el nivel del mar ocupando un área de alrededor de 65 hectáreas. El valle de Supe es una estrecha quebrada fértil que en éste lugar tiene un ancho máximo de 1.5 kilómetros y alberga a lo largo de su recorrido un gran número de otros sitios con pirámides contemporáneos con Caral como: Era de Pando, Lurinhuasi, Miraya, Allpacoto, Áspero, Chupacigarro, entre otros.

1.- Del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico
Analicemos juntos estas situaciones:
SITUACIÓN 1: Los hermanos de San Juan de Miraflores
Cuatro hermanos de San Juan de Miraflores que deciden visitar Caral tienen en conjunto 1800 soles. Cada uno tiene la misma cantidad de billetes. El hermano mayor posee sólo billetes de 100 soles; el segundo, sólo de 50 soles; el tercero, sólo de 20 soles; y el cuarto, sólo de 10 soles. ¿Qué cantidad de dinero tiene el mayor?
Solución:

Es muy importante el dato de que todos los hermanos tienen la misma cantidad de billetes; sin embargo, no se conoce cuántos billetes son, por ello le asignamos “x”, pudiendo expresar la cantidad de dinero de cada hermano:

Mayor : 100x Segundo : 50x

Tercero : 20x Cuarto : 10x

Los cuatro juntos tienen 1800 soles. Entonces se formula la ecuación:
100x + 50x + 20x + 10x = 1800

180x = 1800

x = 10
Así la cantidad de billetes que tiene cada hermano es 10.

Entonces el hermano mayor tiene 10 billetes de 100 soles es decir: ____________

SITUACIÓN 2: Visitando un establo en el valle de Supe

Margarita está visitando el establo de su tío en el valle de Supe, y él le dijo: “Al contar los cuernos y las patas de las vacas se obtiene 246”. ¿Cuántas vacas hay en el establo?

Solución:

El dato desconocido es número de vacas, entonces conviene denominar “y” al número de vacas; como cada vaca tiene 2 cuernos y 4 patas expresamos así

Cuernos = 2y

Patas = 4y

Relacionando los datos formulamos la ecuación o modelo obtenido

2y + 4y = 246

6y = 246 dividimos ambos miembros entre 6

y = 41 (corresponde al número de vacas).
Jugando con bloques…

Si tres rectángulos equivalen a 12 cuadraditos. ¿Un rectángulo a cuántos cuadraditos equivale?

Podemos expresar esta situación en forma algebraica y gráfica. Representaremos dicha situación del siguiente modo: “x” es un rectángulo

3x = 12


Formamos grupos de un rectángulo y repartimos los cuadraditos entre los rectángulos


Por tanto x = 4
La igualdad 3x = 12 se conoce como ecuación lineal con una incógnita “x” que expresa el valor desconocido.

2.-Ecuaciones lineales con una variable


Existen situaciones que se nos presentan en nuestro diario vivir y que pueden ser traducidas al lenguaje matemático.

Una ecuación lineal con una variable es de la forma:


a.x + b = 0


Donde “a” y “b” son números reales, a ≠0 ;

“x” es la variable.

Es importante familiarizarse con el lenguaje algebraico y para ello hay necesidad de habituarse a plantear algunas situaciones para ser resueltas mediante su modelización algebraica.

Indagando edades en la Institución Educativa “El Nazareno”

La edad de Abel es el triple de la edad de Beatriz, pero hace cinco años era el cuádruplo de la de Beatriz. Hallar las edades actuales.

Analicemos:

¿Quién es mayor? ------------------------------------------¿Hay diferencia de edades?----

¿La diferencia de las edades será la misma actualmente?-----------------

De acuerdo a los datos del problema conviene designar con “x” a la edad actual de Beatriz:

Edad de Beatriz: x

Abel tiene el triple de la edad de Beatriz: 3x

Hace cinco años hay que remontarse al pasado se simboliza “– 5”.


Edad

Presente

Pasado: Hace 5 años

Beatriz

x

x – 5

Abel

3x

4 (x– 5)


Relacionando los datos del problema se formula la ecuación:

3x – 5 = 4 (x – 5) (aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación)

3x – 5 = 4x – 20 (aplicamos la propiedad de monotonía de la adición, por ello adicionamos -3x a cada miembro)

3x + (–3x) – 5 = 4x + (3x) - 20

–5 = x – 20

15 = x

Beatriz tiene 15 años actualmente, como la edad de Abel es el triple, multiplicamos este valor por 3; o sea 3(15) = 45 años tiene Abel actualmente.

¿Cuántos años tendrá Abel en el 2020?----------- ¿Cuántos años tenía Beatriz hace cinco años?

¿Qué significa resolver una ecuación lineal con una variable?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

¿Qué propiedades de los números reales utilizamos para resolver una ecuación?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vemos que una solución de la ecuación es aquel valor que toma la incógnita o variable dentro de un contexto y transforma al enunciado original en proposición verdadera.

3x – 5 = 4 (x – 5)

3(15)- 5 = 4(15- 5)

40 = 40

Los enunciados verbales se pueden representar con expresiones algebraicas
MAGIA …(Tomado de Fascículo 8 ecuaciones-MED.2007)

  • Piensa un número

  • Súmale el número que sigue,

  • Al resultado del paso anterior súmale 9,

  • Divide el resultado entre dos (a lo que le quedó).

  • Réstale el número que pensaste….. generaliza


Los enunciados anteriores se pueden expresar como expresiones algebraicas

  • El número que pensaste es una incógnita : x

  • El número que le sigue es (x+1).

Así la suma que se hace es, x + (x+1) = 2x+1

  • Al resultado del paso anterior le sumamos 9, y queda. 2x+1+9 = 2x +10

  • Dividimos el resultado entre dos

  • A lo que nos quedó x+5 le restamos el número que pensaste x+5 –x = 5

  • El número que quedó es 5 !!!

E
Podemos decir que una ecuación es una igualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas donde interviene, al menos, una variable al que llamaremos incógnita.
jemplo:
Un estudiante de la Institución Educativa César Vallejo de la UGEL 01 compra manzanas a 4 por un sol y las vende a 5 por 2,5 soles. ¿Cuántas manzanas debe vender para ganar 20 soles?

Solución:

La incógnita o dato desconocido es el número de manzanas y la representaremos por “m”. Por otro lado sabemos que:

Ganancia = Precio de venta – precio de compra

Donde:

Ganancia: 20 soles. Precio de venta: Precio de compra:
Ganancia = Precio de venta – precio de compra



20 = (0,5m -0,25m)

20 = 0,25m



m = 80 Por lo tanto para ganar 20 soles debe vender 80 manzanas.

Otra forma de halla el valor de la incógnita:

También podemos calcular el precio de compra y de venta de cada manzana:

Precio de compra: = 0,25 soles. Precio de venta: = 0,5 soles.

Entonces la ganancia será: 0,5 – 0,25 = 0,25 soles si vende una manzana.

número de manzanas

1

m

soles que gana

0,25

20

Significa que si vende una manzana gana 0,25 soles; pero para que la ganancia sea 20 soles debe vender más manzanas “m”

manzanas

PRACTICANDO LO APRENDIDO

  1. En una caja hay doble número de caramelos de fresa que de piña y, triple número de caramelos de limón que de fresa y piña juntos. Si en total hay 108. ¿Cuántos caramelos de cada sabor hay? Rpta: piña 9; fresa 18; limón 81.

  2. Si a la edad de una niña le multiplicas por 4, obtienes su edad aumentada en 9. ¿Cuál es la edad de la niña? Rpta: 3 años.

  3. En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales es 5 m más largo que el lado desigual. El perímetro mide 55 m. ¿Cuánto mide cada lado? Rpta: 15 m y 20 m.

  4. Compro 5 bolígrafos y me sobran dos nuevos soles, si hubiera necesitado comprar 9 bolígrafos, me habría faltado un nuevo sol. ¿Cuánto dinero llevo? Rpta 5,75 soles.

  5. Victoria tiene actualmente 3 veces la edad de su sobrino. Dentro de 10 años su edad será únicamente el doble. Hallar la edad de cada uno. Rpta: 30 años y 10 años.

  6. El perímetro de un rectángulo es de 60 cm, el largo excede al ancho en 4 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones? Rpta: 17cm y 13 cm.

  7. Ana Tiene 436 soles y Julia 244 soles. Al ir ambas de compras y gastar la misma cantidad cada una, a Julia le queda la cuarta parte de lo que le queda a Ana. ¿Cuántos soles gastó cada una? Rpta: 180 soles.

  8. Las edades de Juan y Rosa están en relación de 5 es a 3 y hace 15 años la suma de sus edades era 34. Hallar la edad de Rosa. Rpta: 24 años

  9. Un vendedor compra entradas para un concierto en una oferta de 7 por 500 soles y luego decide venderlas en grupos de 7 entradas a 800 soles cada grupo. ¿Cuántas entradas debe vender para ganar 600 soles? Rpta: 14 entradas

  10. Las edades de José y Manuel están en relación de 2 a 3, dentro de 10 años estarán en la relación de 4 a 5. Hallar la edad de José. Rpta: José tiene 20 años.

  11. Hernán un estudiante aplicado, apuesta con su papá, quien le hace una propuesta para un examen muy difícil que tenia al siguiente día, la cual fue la siguiente: Hernán recibía de propina 5 soles por pregunta bien contestada y si contestaba mal Hernán tenía que pagarle 2 soles por pregunta a su padre, viendo muy atractiva la propuesta de su padre Hernán empieza a estudiar con tesón. Si al final de todo Hernán recibe 22 soles y el examen contaba con 10 preguntas. ¿Cuántas preguntas contesto bien Hernán? Rpta. Contestó bien 6 preguntas.

  12. Jerver y Samuel, dos músicos renombrados, trabajan juntos en un mismo grupo musical, si Jerver gana 10 soles más que Samuel por día y después de haber trabajado el mismo número de días, Jerver recibe 90 soles más que Samuel y éste recibe 20 soles por día trabajado ¿Cuántos días trabajaron? Rpta. Trabajaron 9 días.


ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
El padre y las matemáticas

Un padre de familia del colegio Ollantay desea motivar a su hijo para que resuelva 16 problemas de matemática, le propone recompensar con 12 soles por cada problema correctamente resuelto, y perderá 5 soles por cada problema no resuelto. Después de trabajar los 16 problemas el alumno recibe 73 soles ¿Cuántos problemas estuvieron bien resueltos?
Identificando las incógnitas nos damos cuenta que contiene dos variables:

Problemas bien resueltos → “x” (recibe 12 soles por cada uno que resuelve correcto)

Problemas no resueltos → “y” (pierde 5 soles por cada uno que no resuelve)
Además se tiene dos cantidades conocidas:

Número total de problemas de matemática → 16

Cantidad de dinero recibido → 73 soles.
Relacionamos los datos y, formulamos las ecuaciones respectivas:

Entre problemas bien resueltos y mal resueltos tenemos 16: x + y = 16

Recibe 12 soles por cada problema que resuelve bien y pierde 5 soles por cada problema mal resuelto: 12 x – 5 y = 73
Como tenemos dos ecuaciones entonces formaremos un sistema de ecuaciones.

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

Conviene eliminar “y”; por ello multiplicamos toda la 1° ecuación por 5

5 (x + y) = 5 (16) → 5x + 5y = 80

12x – 5y = 73_

17x + 0 = 153

x = 9 (número de problemas bien resueltos).
Otro forma sería: despejando x de ambas ecuaciones tenemos:

x = 16 – y de la ecuación 1

x = de la ecuación 2.
Igualando ambas expresiones: 16-y =
Halla el otro valor y verifica: _____________
Existen métodos para resolver sistema de ecuaciones lineales; conoceremos uno de ellos.

En la tienda de don Darío y Emma hay un aviso que llama la atención “Para comprar 5 tarros de leche y 2 litros de aceite se necesita 18 soles y para comprar dos tarros de leche y 5 litros de aceite se necesita 24 soles, ¿Cuánto cuesta un tarro de leche?

Identificamos los datos desconocidos:

Precio de un tarro de leche: a

Precio de un litro de aceite: b

Si compramos 5 tarros de leche (5a) más 2 litros de aceite (2b), necesitamos 18 soles: 5a+ 2b = 18 …………….Expresión 1

Además, si compramos 2 tarros de leche más 5 litros de aceite necesitamos 24 soles: 2 a + 5b = 24……………………………………………….Expresión 2

Tenemos dos ecuaciones:
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